Udara
Udara adalah partikel zat yang tidak dapat kita lihat,tetapi keberadaanya dapat kita rasakan dan udara menempati ruang.
SIFAT UDARA
• Udara ada dimana – mana.
• Udara mempunyai berat.
• Udara mempunyai tekanan.
• Udara berhembus dari tempat yang bertekanan tinggi ke tempat yang bertekanan rendah.
• Udara tidak berwarna dan tidak berbau.
• Udara menempati ruang.
• Udara merupakan bentuk gas.
• Udara memuai bila dipanaskan.
• Udara menyusut bila didinginkan.
KOMPOSISI UDARA
• Udara di permukaan bumi ini terdiri atas campuran dari bermacam-macam gas. Komposisi dari macam-macam gas tersebut adalah 78 % nitrogen, 21% oksigen, dan 0,03 % karbon dioksida dan 0,07% gas lainnya yaitu, argon, neon, methane, helium, krypton, hidrogen, dan xenon.Permukaan bumi diselimuti dengan udara yaitu atmosfer.
PEMANFAATAN UDARA
• Bernafas, berfotosintesis, dan penyerbukan tumbuhan.
• Proses pembakaran. Misalnya, pada penyalaan lilin. Jika lilin yang dinyalakan kemudian ditutup dengan gelas sehingga udara di dalamnya kosong, maka lilin akan mati.
• Membantu pekerjaan manusia, misalnya kincir angin, ban kendaraan, menggerakkan layar perahu, baling – baling, dan balon udara.
• Perantara penyampaian suara atau bunyi.
PENCEMARAN UDARA
• Pencemaran udara adalah kehadiran satu atau lebih substansi fisik, kimia, atau biologi di atmosfer dalam jumlah yang dapat membahayakan kesehatan manusia, hewan, dan tumbuhan, mengganggu estetika dan kenyamanan, atau merusak properti.
Kegiatan manusia yang dapat menyebabkan pencemaran udara :
• Transportasi
• Industri
• Pembangkit listrik
• Pembakaran (perapian, kompor, furnace,[insinerator]dengan berbagai jenis bahan bakar
• Gas buang pabrik yang menghasilkan gas berbahaya seperti (CFC)
Sumber alami yang dapat menyebabkan pencemaran udara :
• Gunung berapi
• Rawa-rawa
• Kebakaran hutan
• [Nitrifikasi] dan [denitrifikasi] biologi
Sumber-sumber lain yang menyebabkan pencemaran udara :
• Transportasi[amonia]
• Kebocoran tangki [klor]
• Timbulan gas [metana]dari [lahan uruk]/[tempat pembuangan akhir] [sampah]
• Uap pelarut organik
Penanggulangan polusi udara dari ruangan :
• Sumber dari pencemaran udara ruangan berasal dari asap rokok, pembakaran asap dapur, bahan baku ruangan, kendaraan bermotor dan lain-lain yang dibatasi oleh ruangan.
Pencegahan pencemaran udara yang berasal dari ruangan bisa dipergunakan :
1.Ventilasi yang sesuai, yaitu :
• Usahakan polutan yang masuk ruangan seminimum mungkin.
• Tempatkan alat pengeluaran udara dekat dengan sumber pencemaran.
• Usahakan menggantikan udara yang keluar dari ruangan sehingga udara yang masuk ke-ruangan sesuai dengan kebutuhan.
2.Filtrasi.
Memasang filter dipergunakan dalam ruangan dimaksudkan untuk menangkap polutan dari sumbernya dan polutan dari udara luar ruangan.
3.Pembersihan udara secara elektronik.
Udara yang mengan-dung polutan dilewatkan melalui alat ini sehingga udara dalam ruangan sudah berkurang polutan-nya atau disebut bebas polutan.
PEMBUKTIAN SIFAT UDARA MENEMPATI RUANG
Tujuan Percobaan:Mengetahui bahwa udara menempati ruang
Bahan :1.Balon Karet
2.Pompa Udara\
Langkah :Pompa balon karet hingga menggembung.
Kesimpulan :
Dengan melakukan percobaan tersebut kita mengetahui bahwa udara menempati ruang dengan menggembunya balon karet yang semula kempes.
PEMBUKTIAN SIFAT UDARA MENGEMBANG BILA DIPANASKAN
Tujuan Percobaan: Mengetahui bahwa udara mengembang bila dipanaskan.
Bahan :1.Balon Karet
2.Botol
3.Air
4.Pemanas air
Langkah :1.Ikat balon karet pada ujung botol.
2.Panaskan air.
3.Masukan botol pada air yang mendidih.
4.Perhatikan apa yang terjadi.
Kesimpulan :
Dengan melakukan percobaan tersebut kita mengetahui bahwa udara mengembang bila dipanaskan,karena terbukti dengan menggembungya balon yang diletakan di atas air mendidih.
PEMBUKTIAN UDARA DIPERLUKAN DALAM PROSES PEMBAKARAN
Tujuan :Mengetahui bahwa udara diperlukan dalam proses pembakaran.
Bahan :1.lilin
2.Korek Api
3.Gelas.
Langkah :1.Nyalakan lilin.
2.Tutup lilin dengan gelas.
3.Perhatikan apa yang terjadi.
Kesimpulan :
Dengan melakukan percobaan tersebut kita mengetahui bahwa udara diperlukan dalam proses pembakaran,terbukti dengan matinya lilin yang ditutup dengan gelas.
Selasa, 16 November 2010
MORFOLOGI
Bagian dari tata bahasa yang membicarakan bentuk kata disebut morfologi. Pengertian tentang bentuk belum jelas bila kita belum mengetahui lebih lanjut tentang wujudnya dan apa yang menjadi ciri-cirinya.
Semua arus-ujaran yang sampai ke telinga kita terdengar sebagai suatu rangkaian kesatuan. Bila kita berusaha memotong-motong suatu arus-ujaran yang sederhana seperti:
/ p e k e r j a a n m e r e k a m e m u a s k a n /
maka potongan-potongan (segmen) yang akan kita dapat yaitu potongan-potongan yang merupakan kesatuan yang langsung membina kalimat itu adalah: pekerjaan, mereka dan memuaskan . Unsur mereka di satu pihak tidak dapat dipecahkan lagi, sedangkan unsur pekerjaan dan memuaskan masih dapat dipecahkan lagi menjadi: kerja dan pe-an , serta puas dan me-kan.
Unsur-unsur kerja dan puas dapat pula dengan langsung membentuk kalimat seperti tampak dalam contoh berikut:
• Kerja itu belum selesai
• Saya belum puas
Sebaliknya unsur-unsur pe-an dan me-kan tidak bisa langsung membentuk sebuah kalimat. Unsur-unsur ini juga tidak bisa berdiri sendiri, selalu harus diikatkan kepada unsur-unsur lain seperti puas, kerja, dan lain-lain. Untuk ikut serta dalam membentuk sebuah kalimat, unsur-unsur pe-an dan me-kan pertama-tama harus digabungkan dengan unsur puas dan kerja.
A. Morfem
Kedua macam unsur itu, baik kerja dan puas , maupun pe-an dan me-kan mempunyai suatu fungsi yang sama yaitu membentuk kata. Unsur pembentuk itu, baik yang bebas ( kerja dan puas ) maupun yang terikat ( pe-an dan me-kan ) dalam tata bahasa disebut morfem (dari kata morphe = bentuk, akhiran ¬ema¬ = yang mengandung arti). Jadi dalam bahasa Indonesia kita dapati dua macam morfem yaitu:
a. Morfem dasar atau morfem bebas , seperti: kerja, puas, bapak, kayu, rumah, tidur, bangun, sakit, pendek, dan lain-lain.
b. Morfem terikat , seperti: pe-, -an, pe-an, ter-, ber-, me-, dan lain-lain.
Dalam tata bahasa Indonesia morfem dasar atau morfem bebas itu disebut kata dasar , sedangkan morfem terikat disebut imbuhan.
Batasan: Morfem adalah kesatuan yang ikut serta dalam pembentukan kata dan yang dapat dibedakan artinya.
B. Alomorf
Dalam merealisasikan morfem-morfem tersebut, pada suatu ketika kita sampai kepada suatu kenyataan bahwa morfem-morfem itu dapat juga mengalami variasi atau perubahan bentuk. Misalnya morfem ber- dalam bahasa Indonesia dalam realisasinya dapat mengambil bermacam-macam bentuk:
ber- be- bel-
berlayar bekerja belajar
bersatu berambut
bergirang beruang
berdiri berakit dan lain-lain.
Perubahan bentuk ber- menjadi be- atau bel- disebabkan oleh lingkungan yang dimasukinya. Bila ber- memasuki suatu lingkungan kata yang mengandung fonem /r/ dalam suku kata pertama, maka fonem /r/ dalam morfem ber- itu ditanggalkan. Dalam suatu kesempatan unsur /r/ itu berubah menjadi /l/. Bentuk-bentuk variasi dari pada morfem itu disebut alomorf .
Batasan: Alomorf adalah variasi bentuk dari suatu morfem disebabkan oleh pengaruh lingkungan yang dimasukinya.
Dalam Morfologi atau Ilmu Bentuk Kata dibicarakan bagaimana hubungan antara morfem dengan morfem, antara morfem dengan alomorf, serta bagaimana pula menggabungkan morfem-morfem itu untuk membentuk suatu kata.
Kata Ulang
Kata ulang disebut juga reduplikasi.
1. Macam-Macam Kata Ulang
Berdasarkan macamnya bentuk perulangan dalam bahasa Indonesia dapat kita bagi menjadi empat macam:
a. Reduplikasi atas suku kata awal, atau di sebut juga dwipurwa. Dalam bentuk perulangan ini vokal dari suku kata awal mengalami pelemahan dan bergeser ke posisi tengah menjadi e (pepet).
Contoh: tatangga > tetangga
luluhur > leluhur
luluasa > leluasa
b. Reduplikasi atas seluruh bentuk dasar. Ulangan ini di sebut ulangan utuh. Ulangan utuh ada dua macam, yaitu ulangan atas bentuk dasar yang berupa kata dasar atau disebut juga dwilingga, dan ulangan atas bentuk dasar berupa kata jadian berimbuhan.
Contoh: rumah > rumah-rumah kejadian > kejadian-kejadian
anak > anak-anak pencuri > pencuri-pencuri
c. Reduplikasi yang juga terjadi atas seluruh suku kata, namun pada salah satu lingganya terjadi perubahan suara pada suatu fonem atau lebih. Perulangan macam ini disebut dwilingga salin suara.
Contoh: gerak-gerak > gerak-gerik
sayur-sayur > sayur-mayur
d. Reduplikasi dengan mendapat imbuhan, baik pada lingga pertama maupun pada lingga kedua. Ulangan macam ini disebut ulangan berimbuhan.
Contoh: bermain-main, berkejar-kejaran, melihat-lihat, tarik-menarik.
2. Fungsi
Kata ulang berfungsi sebagai alat untuk membentuk jenis kata, dan dapat dikatakan bahwa perulangan sebuah kata akan menurunkan jenis kata yang sama seperti bila kata itu tidak diulang.
3. Arti
Adapun arti yang dapat didukung oleh perulangan adalah:
a. Mengandung arti banyak yang tak tentu.
Contoh: Ayah membelikan saya sepuluh buah buku (banyak tentu)
Buku-buku itu telah kusimpan dalam lemari (banyak tak tentu)
b. Mengandung arti bermacam-macam.
Contoh: pohon-pohonan, buah-buahan.
c. Menyerupai atau tiruan dari sesuatu.
Contoh: kuda-kuda, anak-anakan, langit-langit.
d. Melemahkan arti, dalam hal ini dapat diartikan dengan agak.
Contoh: Sifatnya kekanak-kanakan.
Ia berlaku kebarat-baratan.
Orang itu sakit-sakitan.
e. Menyatakan intensitas, baik kualitas, kuantitas, maupun frekuensi.
i) Intensitas kualitatif: Pukullah kuat-kuat.
Belajarkah segiat-giatnya.
ii) Intensitas kuantitatif: kuda-kuda, rumah-rumah.
iii) Intensitas frekuentatif: Ia menggeleng-gelengkan kepalanya.
Ia mondar-mandir sejak tadi.
f. Menyatakan arti saling, atau pekerjaan yang berbalasan.
Contoh: Keduanya bersalam-salaman.
Dalam perkelahian itu terjadi tikam-menikam antara kedua orang tersebut.
g. Perulangan pada kata bilangan mengandung arti kolektif.
Contoh: dua-dua, tiga-tiga, lima-lima.
4. Ada beberapa kata yang selintas tampaknya seolah-olah merupakan kata ulang seperti biri-biri dan kupu-kupu. Kata-kata kupu-kupu dan biri-biri keseluruhannya merupakan kata dasar, bukan kata ulang. Dalam pemakaian sehari-hari dalam bahasa Indonesia tidak terdapat bentuk seperti biri dan kupu.
Imbuhan
1. Prefiks atau awalan
Prefiks atau awalan adalah suatu unsur yang secara struktural diikatkan di depan sebuah kata dasar atau bentuk dasar.
Prefiks ber-
a. Bentuk
Pada umumnya morfem ber- dirangkaikan saja di depan sebuah kata dengan tidak mengalami perubahan apa pun:
Ber + kuda > berkuda
Ber + sepeda > bersepeda
Kecuali bila fonem awal dimulai dengan fonem /r/, maka ber- mengambil bentuk lain yaitu /be- /:
Ber + racun > beracun
Ber + raja > beraja
Di samping itu sering dikatakan juga nahwa bila suku kata pertama mengandung /r/ maka ber- berubah juga menjadi be-. Namun perubahan bentuk tersebut hanya terjadi pada beberapa kata yang menjadi perkecualian, seperti bekerja, beterbangan, dan bepergian. Pada suatu kesempatan yang lain fonem /r/ itu berubah menjadi /l/ karena proses disimilasi yaitu pada kata belajar. Variasi dari pada bentuk ber- menjadi be- atau bel- itu disebabkan oleh lingkungannya.
Bentuk-bentuk variasi itu disebut alomorf.
b. Fungsi
Fungsi Prefiks ber- antara lain:
i) Membentuk kata kerja.
ii) Merupakan transformasi dari kata mempunyai atau memiliki.
c. Arti
Kemungkinan-kemungkinan arti yang dapat didukung oleh morfem ber- adalah sebagai berikut:
1. Mengandung arti mempunyai atau memiliki.
Contoh: bernama, beribu, berkaki, bermata.
2. Mempergunakan atau memakai sesuatu yang disebut dalam kata dasar.
Contoh: berkereta, berbaju, bersepeda, berkacamata.
3. Mengerjakan sesuatu atau mengadakan sesuatu.
Contoh: bersawah, bertukang, bernafas.
4. Memperoleh atau menghasilkan sesuatu.
Contoh: bersiul, bertelur, beruntung, berhujan.
5. Berada dalam keadaan sebagai yang disebut dalam kata dasar.
Contoh: beramai-ramai, bergegas-gegas, bermalas-malas.
6. Bila kata dasarnya adalah kata bilangan atau kata benda yang menyatakan ukuran, maka ber- mengandung arti himpunan.
Contoh: bersatu, berdua, bertahun-tahun, bermeter-meter.
7. Menyatakan perbuatan yang intransitif.
Contoh: berjalan, berkata, berdiri, berubah.
8. Menyatakan perbuatan berbalasan atau timbal balik resiprok.
Contoh: berkelahi, bergulat, bertinju.
9. Menyatakan perbuatan mengenai diri sendiri atau refleksif.
Contoh: berhias, bercukur, berlindung.
10. Bila dirangkaikan di depan sebuah kata yang berobjek maka mengandung arti mempunyai pekerjaan itu.
Contoh: bermain mata, bermain bola, bertolak pinggang.
Prefiks ke-
A. Bentuk
Bentuk prefiks ke- tidak mengalami perubahan dalam penggabungannya dengan suatu kata dasar. Di sini perlu dengan tegas dibedakan dua hal yang berlainan yaitu: prefiks ke- dan kata tugas ke . Kata tugas ke tidak dimasukkan dalam prefiks ke-, karena statusnya lain dari imbuhan; kata tugas ke sepenuhnya berstatus kata, maka harus diperlakukan pula sebagai kata.
B. Fungsi dan Arti
Karena fungsi prefiks ke- ini lebih dari satu, dan sejajar pula dengan arti yang didukungnya, maka fungsi dan arti di sini dibicarakan bersama-sama:
1. Untuk membentuk kata bilangan tingkat, yaitu tempat keberapa suatu barang atau hal berada.
Contoh: anak keempat, buku kelima.
2. Untuk membentuk kata bilangan kumpulan.
Contoh: keempat anak itu, kelima buku tersebut.
3. Untuk membentuk kata benda, dan mengandung yang di- .
Contoh: ketua, kehendak, kekasih.
Prefiks me-
a. Bentuk
Dalam membentuk suatu kata dengan prefiks me-, perlu diperhatikan ketentuan-ketentuan berikut.
1. Kata dasar yang dirangkaikan dengan prefiks me- pertama-tama mendapat proses nasalisasi.
2. Nasal yang didapat haruslah homorgan dengan fonem awal dari kata dasar itu.
3. Bila fonem awal suatu kata adalah konsonan besuara, maka fonem itu tidak luluh. Sebaliknya bila fonem awal dari kata dasarnya adalah konsonan tak bersuara maka fonem itu mengalami peluluhan.
besar > membesarkan
kasih > mengasihi
b. Fungsi
Fungsi yang utama dari prefiks me- adalah membentuk kata kerja, baik transitif maupun intransitif.
c. Arti
Bidang arti yang dapat didukung oleh prefiks me- dapat ditinjau dari dua segi berdasarkan fungsi me- itu, sebagai pembentuk kata kerja transitif atau intransitif:
a) Intransitif
1. Mengerjakan sesuatu perbuatan atau gerakan.
Contoh: menari, menyanyi, melompat.
2. Menghasilkan atau membuatu sesuatu hal.
Contoh: menguak, menyalak, meringkik.
3. Bila kata dasarnya menyatakan tempat, maka kata yang mengandung me- itu berarti menuju ke arah.
Contoh: menepi, meyisir, melaut, mendarat.
4. Prefiks me- dapat juga diartikan dengan berbuat seperti, berlaku seperti atau menjadi seperti.
Contoh: merajalela, membatu, menyemak, menghutan.
5. Bila kata dasarnya kata sifat atau kata bilangan maka me- mengandung arti menjadi.
Contoh: meninggi, merendah, memutih, mendua.
6. Suatu variasi lain dari me- + kata bilangan adalah membuat untuk kesekian kalinya, terutama dalam beberapa ungkapan.
Contoh: menujuh hari, meniga hari.
b) Transitif
1. Melakukan suatu perbuatan.
Contoh: menulis, menikam, menyiksa, membuang, menangkap.
2. Mempergunakan atau bekerja dengan apa yang terkandung dalam kata dasar.
Contoh: menyabit, menyapu, memarang.
3. Membuat atau menghasilkan apa yang disebut dalam kata dasar.
Contoh: menyambal, menggulai.
Prefiks pe-
A. Bentuk
Mengapa dalam segi bentuk kita berjumpa dengan beberapa variasi bentuk pe-, misalnya pe-, pe- + Nasal, per-. Pertama-tama harus dibedakan dua hal yang dapat menjelaskan perbedaan tersebut:
1. Pembentukan kata suatu kata baru langsung dengan prefiks pe-, biasanya langsung dari suatu kata benda atau kata sifat, misalnya: petani, pelaut, pedagang, pemarah, perusak, dan sebagainya.
2. Pembentukan kata baru melalui pembedaan suatu kata kerja yang mengandung prefiks me-. Dalam hal ini kata dasar yang mendapat awalan pe- itu juga mendapat nasal seperti terjadi dengan awalan me-, misalnya: pembaca, pencuri, pengawal, penggali, dan lain-lain.
B. Fungsi
Fungsi dari prefiks pe- adalah membentuk kata benda.
C. Arti
Arti yang mungkin didukung oleh prefiks pe- adalah:
1. Menyatakan orang yang mengerjakan sesuatu (persona agentis).
Contoh: pelempar, pembuat, pembaca, pengawal.
2. Menyatakan alat.
Contoh: penggali, penglihat, perasa.
3. Menyatakan sesuatu yang di- .
Contoh: petunjuk, penampung, pesuruh, petaruh.
4. Menyatakan orang yang biasa bekerja di suatu tempat.
Contoh: pelaut, pedagang.
5. Menyatakan sesuatu atau seseorang yang mempunyai sifat itu.
Contoh: pemarah, pemalas.
6. Orang yang gemar membuat sesuatu.
Contoh: pencandu, penjudi, pemakan.
Prefiks per-
A. Bentuk
Prefiks per - sebagai imbuhan untuk membentuk kata kerja mengalami variasi bentuk menjadi pe- , terutama pada kata-kata yang mulai dengan fonem /r/ seperti perendahm perebut, dan sebagainya. Karena fungsi per - di sini adalah membentuk kata kerja maka dalam hal ini dapat digabungkan lagi dengan prefiks me- dengan ketentuan fonem /p/ dalam prefiks per- tidak boleh diluluhkan.
Contoh: mempertinggi, memperbesar
B. Fungsi
Prefiks per - berfungsi untuk membentuk kata kerja.
C. Arti
Arti yang didukung per- dalam pembentukan kata kerja pada umumnya mengandung arti kausatif, yaitu menyebabkan terjadinya atau adanya sesuatu. Arti kausatif ini dapat diperinci lagi dengan:
1. Menjadikan, membuat sesuatu jadi.
Contoh: perbudak, perhamba, perdewa.
2. Memanggil atau menganggap sebagai.
Contoh: pertuan, peradik.
3. Bila kata dasarnya kata bilangan maka arti yang didukukng adalah membagi, membuat jadi .
Contoh: perdua, perlima, persepuluh.
4. Bila kata dasarnya kata keadaan maka berarti membuat lebih .
Contoh: pertinggi, perburuk, perbesar, perhebat.
6. Arti lain yang dikandung oleh per- adalah menyatakan intensitas.
Contoh: perturut, pertimba.
Prefiks se-
A. Bentuk
Awalan se- berasal dari sa yang berarti satu, tetapi karena tekanan struktur kata, vokal a dilemahkan menjadi e. Bentuk awalan se- tidak mengalami perubahan atau variasi bentuk.
B. Arti
Arti awalan se- adalah:
1. Menyatakan arti satu.
Contoh: seorang, sebuah, sebiji, sekota, segenap.
2. Menyatakan arti bersama-sama.
Contoh: serumah, sekelas, sekota.
3. Menyatakan satu waktu (aspek simultatif).
Contoh: setibanya, seperginya, sedatangnya.
4. Menyatakan sama dengan atau menyerupai.
Contoh: Ombak itu setinggi gunung.
Anak itu sepandai kakaknya.
5. Menyatakan sebanyak atau seberapa .
Contoh: Ambillah barang itu semaumu .
Setahuku, ia tidak terlibat dalam masalah itu.
6. Bila prefiks se- diikuti reduplikasi kata sifat, maka prefiks se- itu mengandung arti paling .
Contoh: setinggi-tingginya sepandai-pandainya
serajin-rajinnya secepat-cepatnya
C. Transposisi
Di samping bermacam-macam arti yang dapat didukung oleh prefiks se-, prefiks ini juga digunakan untuk membentuk kata tugas. Dalam hal ini pada mulanya se- dalam kata-kata itu masih mengandung arti sebagai yang telah diterangkan di atas. Lambat laun arti itu hilang dan bentuk tersebut pada akhirnya dianggap sebagai kata tugas.
Contoh: selagi sekali selama
secukupnya sedari sesungguhnya
sepatutnya sebenarnya seharusnya
Prefiks ter-
A. Bentuk
Seperti halnya dengan prefiks ber-, prefiks ter- pun mempunyai beberapa alomorf, antara lain: ter- dan te- ; pada beberapa kata ter- mendapat proses asimilasi menjadi te(l).
Contoh: terlanjur > telanjur
terlantar > telantar
terlentang > telentang
B. Fungsi
Prefiks ter- mempunyai dua fungsi:
1. Menyatakan aspek.
2. Membentuk atau menyatakan perbandingan.
C. Arti
Arti yang dapat didukung oleh prefiks ter- dapat disusun sebagai berikut:
1. Menyatakan aspek perspektif atau suatu perbuatan yang telah selesai dikerjakan.
Contoh: terikat, terhunus.
2. Menyatakan aspek kontinuatif atau suatu perbuatan yang berlangsung terus.
Contoh: lampu itu terpasang sampai pagi.
3. Menyatakan aspek spontanitas atau suatu perbuatan yang berlangsung dengan serta-merta atau tidak disengaja.
Contoh: terperosok, teringat, terkejut, tertegun.
4. Menyatakan kesanggupan, dan dalam hal ini dapat diartikan dengan dapat di-.
Contoh: peti itu tidak terangkat oleh kami.
5. Bila kata dasarnya mengalami reduplikasi, maka ter- dapat mengandung arti intensitas, kesangatan, atau perulangan suatu peristiwa (aspek repetitif).
Contoh: Ia berjalan tergesa-gesa.
Anak itu tertawa terbahak-bahak.
6. Menyatakan tingkat yang paling tinggi atau tertinggi dalam suatutingkat perbandingan.
Contoh: terbesar, tertinggi, terhina, termurah.
Awalan-Awalan Baru
Akibat perkenalan dengan berbagai istilah asing, maka dirasa perlu menambahkan perbendaharaan bentuk-bentuk terikat dalam bahasa Indonesia. Lebih-lebih dalam terjemahan beermacam-macam prefiks asing, perlulah kita memperkaya bahasa Indonesia dengan bentuk-bentuk terikat yang baru. Oleh Komisi Istilah telah ditetapkan beberapa macam bentuk yang terikat untuk menterjemahkan prefiks-prefiks asing. Walaupun sudah ditetapkan oleh suatu badan yang kompeten, namun pemakaiannya tidak dapat dipaksakan, sehingga prefiks itu belum produktif tampaknya bagi pemakaian umum sehari-hari. Bentuk-bentuk itu lebih sering dipergunakan dalam bentuk-bentuk artikel-artikel ilmiah.
Bentuk-bentuk yang dimaksud adalah:
1. Tak
Bentuk ini dipakai untuk mengimbangi istilah-istilah asing yang memakai prefiks asing a-. Gunanya untuk menidakkan suatu hal. Kata-kata asosial, amoral, asimetri, apatis, diimbangi dengan kata-kata taksosial, taksadar, takorganik, dan sebagainya.
2. Purba
Prefiks ini disejajarkan dengan awalan-awalan asing Ante: antedate, antedelivium. Dalam terminologi baru kita mendapat kata-kata purbatunggal, purbakala, purbasangka.
3. Swa
Mengandung arti sendiri , dipakai untuk menggantikan prefiks asing auto : swakuasa (autokrasi), swariwayat (autobiografi) ; demikian pula dibentuk kata-kata lain seperti swasembada, swadaya, swasta, swalayan , dan sebagainya.
4. Dwi
Prefiks dwi senilai dengan bi- dalam bahasa-bahasa asing: dwiwarna, dwipihak, dwikora, dwipurwa, dan sebagainya.
Catatan: Di samping prefiks dwi-, kita temukan juga prefiks dengan kata-kata bilangan lain seperti tri, catur dan panca , untuk menunjukkan kesatuan yang terdiri dari tiga, empat dan lima orang atau hal, misalnya: trikora, caturtunggal, pancasila, pancaindera, dan sebagainya.
5. Antar
Senilai dengan inter dalam bahasa asing: antartempat (interlokal), antarsekolah, antarnegara, antarhubungan (interelasi), dan sebagainya.
6. Pra
Untuk menggantikan awalan-awalan asing pre-, prae-: pratinjau (preview), prasejarah, prasangka, prakarsa, prakarya, dan sebagainya.
7. Serba
Dipakai sebagai awalan dengan arti semua : serbabaru, serbaputih, serbaguna, serbaasalah, dan sebagainya.
8. Pasca
Prefiks ini mengandung arti sesudah : pascatsunami, pascapertandingan, pascagempa, dan sebagainya.
9. Tuna
Prefiks ini dipakai dengan arti kehilangan sesuatu, ketiadaan sesuatu: tunakarya, tunasusila, tunanetra, tunawisma, tunasosial, dan sebagainya.
10. Ulang
Untuk menyatakan bahwa sesuatu dibuat kembali dipergunakan prefiks ulang . Prefiks ulang sejajar atau senilai dengan prefiks re- , misalnya: ulang=cetak, ulang-susun, dan sebagainya.
11. Maha
Prefiks ini mengandung arti besar, dan diambil dari bahasa Sansekerta. Kata-kata yang mengandung prefiks maha yang sering dijumpai dalam bahasa Indonesia adalah: mahakuasa, mahaadil, mahaguru, mahasiswa, dan sebagainya.
2. Sufiks atau akhiran
Sufiks atau akhiran adalah semacam morfem terikat yang dilekatkan di belakang suatu morfem dasar.
Sufiks -an
Sufiks –an pertama-tama berfungsi dalam bahasa Indonesia. Morfem –an ini tidak mengalami perubahan bentuk dalam penggabungannya dengan unsur-unsur lain.
A. Fungsi
Sufiks –an pertama-tama berfungsi untk membentuk kata benda. Karena pengaruh beberapa bahasa daerah atau dialek maka di sana-sini terdapat pula sufiks –an yang berfungsi membentuk kata sifat, nemun bentuk ini belum terlalu produktif.
B. Arti
Kata-kata yang mengandung sufiks –an, dapat mendukung salah satu arti berikut:
1. Tempat
Contoh: pangkalan, pegangan, tumpuan, hadapan, dan lain-lain.
2. Perkakas atau alat
Contoh: ayunan, kurungan, timbangan, pikulan, dan lain-lain.
3. Hal atau cara
Contoh: Didikan: dapat berarti hal mendidik atau cara mendidik.
Balasan: hal membalas atau cara membalas.
4. Akibat atau hasil perbuatan
Contoh: buatan, hukuman, balasan, karangan, dan lain-lain.
5. Sesuatu yang di... atau sesuatu yang telah... seperti yang telah disebut dalam kata dasar.
Contoh: larangan, catatan, tumbuhan, makanan, pantangan, pakaian, karangan.
6. Seluruh atau himpunan
Contoh: lautan, sayuran, daratan, kotoran, dan lain-lain.
7. Menyerupai atau tiruan dari
Contoh: anak-anakan, kuda-kudaan, dan lain-lain.
8. Tiap-tiap
Contoh: harian, bulanan, mingguan, tahunan, lusinan, dan lain-lain.
9. Sesuatu yang mempunyai sifat sebagai yang diesbut pada kata dasar
Contoh: manisan, asinan, kuningan, lapangan.
10. Menyatakan intensitas baik mengenai kuantitas maupun mengenai kualitas.
Contoh: Mengenai kualitas: besaran, kecilan, tinggian.
Mengenai kuantitas: buah-buahan, sayur-sayuran, tumbuh-tumbuhan, dan lain-lain.
Sufiks -man, -wan, -wati
A. Bentuk
Ketiga macam sufiks ini berasal dari bahasa Sansekerta. Dalam bahasa Sansekerta bentuk sufiks –man dan –wan dipakai untuk menunjukkan jenis jantan, sedangkan bentuk betina untuk masing-masing bentuk adalah –mati dan –wati. Tetapi dalam bahasa Indonesaia sufiks –mati menimbulkan nilai rasa yang lain sekali, yaitu diasosiakan dengan kata mati sebagai lawan kata hidup. Oleh sebab itu bentuk tersebut tidak diterima. Untuk menyatakan bentuk betina yang sejajar dengan –man dipergunakan bentuk –wati, yaitu bentuk betina dari –wan.
B. Arti
Arti ketiga sufiks ini adalah yang mempunyai.
Contoh: seniman cendekiawan seniwati
budiman karyawan wartawan
sukarelawan gerilyawan negarawan
Sufiks -kan
A. Bentuk
Bentuknya tidak berubah.
B. Fungsi
Sufiks – kan berfungsi untuk membentuk kata kerja.
C. Arti
Macam-macam bidang arti yang dapat didukung oleh sufiks – kan adalah:
a. Menyatakan kausatif. Pengertian kaudatif berarti membuat, menyebabkan sesuatu atau menjadikan sesuatu.
Contoh: menerbangkan, melemparkan, menyeberangkan, mengemukakan, menyakitkan, dan lain-lain.
b. Suatu variasi dari arti kausatif adalah menggunakan sebagai alat, atau membuat dengan.
Contoh: menikamkan tombak, memukulkan tongkat.
c. Menyatakan beneaktif, atau membuat untuk orang lain.
Contoh: membelikan, meminjamkan
d. Ada pula sufiks – kan yang sebenarnya merupakan ringkasan dari kata tugas akan.
Contoh: mengharapkan = mengharap akan
sadarkan = sadar akan
Baik sufiks – kan maupun sufiks –i mempunyai fungsi yang sama yaitu membentuk kata kerja. Tetapi kedua akhiran itu mengandung suatu perbedaan terutama dalam hubungan dengan objeknya. Hubungan antara kata kerja yang berakhiran –i¬ dengan objeknya adalah objek berada dalam keadaan diam, menjadi tempat berlangsungnya perbuatan itu. Sedangkan untuk sufiks – kan¬, objeknya berada dalam keadaan bergerak.
Contoh: Perhimpunan itu mendatangkan sebuah regu sepak bola.
Kami sendiri mendatangi tempat itu.
Walaupun begitu kadang-kadang tidak terasa lagi perbedaan antara kedua akhiran itu.
Sufiks -i
A. Bentuk
Tidak mengalami perubahan.
B. Fungsi
Sufiks –I berfungsi untuk membentuk kata kerja.
C. Arti
Tafsiran arti yang diturunkan dari kata-kata yang berakhiran –i adalah sebagai berikut:
1. Menyatakan bahwa objek dari kata-kerja itu menunjukkan suatu tempat atau arah berlangsungnya peristiwa tersebut ( lokatif ). Karena objeknya itu menjadi tempat berlangsungnya suatu peristiwa, maka akibatnya objek itu tidak bergerak, berada dalam keadaan diam.
Contoh: Kami menanyai mereka.
Saya mengelilingi kota.
2. Kadang-kadang arti lokatif itu mendapat arti jhusus, yaitu memberi kepada atau menyebabkan sesuatu jadi.
Contoh: Menghargai jasa orang.
Menyakiti hatinya.
Menghormati orang tua.
3. Menyatakan intensitas, atau pekerjaan itu dilangsungkan berulang-ulang (frekuentatif), atau pelakunya lebih dari satu orang.
Contoh: Tentara itu menembaki benteng musuh.
Anak-anak itu melempari anjing itu.
Sufiks -nya
Pertama-tama harus ditegaskan bahwa ada dua macam nya. Nya jenis pertama adalah kata ganti orang ketiga tunggal, baik dalam fungsinya sebagai pelaku atau pemilik. Dalam hal ini nya tidak berstatus akhiran. Nya yang kedua adalah –nya¬ yang berstatus akhiran.
Akhiran –nya mempunyai fungsi sebagai berikut:
a. Untuk mengadakan transposisi atau suatu jenis kata lain menjadi kata benda.
Contoh: baik buruk nya, merajalela nya, timbul tenggelam nya.
b. Menjelaskan atau menekankan kata yang berasa di depannya.
Contoh: Tamunya belum datang.
Ambilah obatnya dan minumlah.
Di rumah itu ada hantunya.
c. Menjelaskan situasi.
Contoh: Ia belajar dengan rajinnya.
Angin bertiup dengan kencangnya.
Ia menyanyi dengan merdunya.
d. Di samping itu ada beberapa kata tugas dibentuk dengan mempergunakan akhiran –nya.
Contoh: agaknya, rupanya, sesungguhnya, sebenarnya, dan lain-lain.
Sufiks-Sufiks Asing
Selain dari akhiran-akhiran yang telah dibahas di halaman-halaman lain, masih banyak lagi akhiran-akhiran asing lain yang dimasukkan ke dalam bahasa Indonesia bersama-sama dengan penerimaan kata-kata dasarnya. Ada yang tidak dirasakan sebagai akhiran, ada yang masih dirasakan sebagai akhiran. Ada yang berfungsi untuk membentuk kata benda, ada yang berfungsi untuk membentuk kata kerja juga kata sifat.
Umumnya kedudukan sufiks-sufiks itu belum stabil; ada orang yang ingin mempertahankannya sesuai dengan bentuk aslinya, ada pula yang berusaha untuk mengadaptasikannya sesuai dengan struktur bahasa Indonesia. Dalam hal yang terakhir ini seringkali kita terbentuk pada perbedaan rasa atau pendapat, karena tak ada patokan bentuk mana yang lebih sesuai dengan selera bahasa Indonesia.
ari sekian banyak bentuk sufiks asing ini, cukup saja kita menyebut beberapa: -isme, is, er, if, ir, il (akhiran –il menurut Pedoman EYD lebih baik diganti dengan –al ), dan lain-lain. Contoh-contohnya banyak kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari, dalam koran-koran, buku-buku dan sebagainya.
3. Konfiks
Konfiks adalah gabungan dari dua macam imbuhan atau lebih yang bersama-sama membentuk satu arti.
Di sini perlu ditegaskan bahwa antara konfiks dan gabungan imbuhan ada perbedaan besar. Pada gabungan imbuhan tiap-tiap unsur tetap mempertahankan arti dan fungsinya masing-masing. Bentuk-bentuk seperti mempercepat, mempersatukan, dibesarkan, san lain-lain masing-masing mengandung makna dan fungsi tersendiri. Imbuhan me + per, me + per + kan, dan di + kan di sini bukanlah konfiks tetapi merupakan gabungan imbuhan dari prefiks dan sufiks.
Sebaliknya, bentuk-bentuk seperti pertahanan, kebesaran, permainan, dan lain-lain mengandung struktur yang berbeda dengan bentuk-bentuk di atas. Karena di sini bentuk per – an dan ke – an tidak dapat ditafsirkan secara tersendiri, tatapi bersama-sama membentuk satu arti dan bersama-sama pula membentuk satu fungsi. Bantuk ini dalam realisasinya terbelah, tetapi pembelahan itu tidak mengurangi hakekatnya sebagai satu morfem. Morfem semacam ini desibut morfem terbelah. Bentuk-bentuk semacam ini tidak janggal dalam bahasa Indonesia. Kata-kata seperti tali, gunung, dan lain-lain juga jelas merupakan satu kesatuan tetapi kadang-kadang bentuk itu mengalami proses pembelahan yaitu ketika disisipkan infiks –em padanya, menjadi temali dan gemunung. Proses pembelahan pada kata atau morfem terikat bukan persoalan baru, tetapi tidak pernah diberi tempat yang wajar. Oleh karena itu Tatabahasa Tradisional memperlakukan konfiks-konfiks sebagai gabungan biasa dari prefiks dan sufiks. Kita harus memulangkan kedudukannya yang sebenarnya sebagai suatu bentuk (morfem) dengan satu kesatuan fungsi dan arti.
Di antara konfiks-konfiks yang penting dalam bahasa Indonesia adalah:
1. Konfiks per-an
A. Bentuk
Bentuk konfiks per-an dapat mengalami variasi bentuk berdasarkan:
a. Lingkungannya.
Contoh: persatuan, perjanjian,, pelajaran, pekerjaan, perambatan, dan lain-lain.
b. Dasar kata dari mana kata itu dibentuk.
- Jika pembentukannya mempergunakan kata benda sebagai kata dasar maka akan mengambil bentuk pe-an. Contoh: pekuburan, pedesaan.
- Jika pembentukannya berasal dari suatu kata kerja yang mempergunakan awalan ber-, maka kata benda itu akan mengambil bentuk per-an atau pe-an, sesuai dengan awalan ber- dengan alomorfnya. Contoh: perbuatan, pelayaran.
- Jika pembentukannya berasal dari satu kata kerja yang mempergunakan awalan me- maka ia akan mengambil bentuk pe + N + an. Contoh: pembaharuan, penyatuan, penguburan, pemburuan, dan lain-lain.
B. Fungsi
Fungsi per-an adalah untuk membentuk kata benda.
C. Arti
Arti yang mungkin didukung oleh konfiks per-an adalah:
a. Menyatakan tempat.
Contoh: perhentian, pelabuhan, persembunyian, pengadilan, perapian, percetakan.
b. Menyatakan hasil perbuatan.
Contoh: permainan, penyerahan, pertanyaan, pelantikan, pertahanan, perhitungan.
c. Menyatakan peristiwa itu sendiri atau hal perbuatan.
Contoh: pengajaran, pencaharian, pendidikan, peraturan.
4. Gabungan Imbuhan
Gabungan imbuhan adalah pemakaian beberapa imbuhan sekaligus pada suatu kata dasar, yang masing-masing mempertahankan arti dan fungsinya. Imbuhan-imbuhan yang biasa dipakai bersama-sama adalah: me-kan, mem-per-kan, di-per-kan, ter-kan, ber-kan, dan lain-lain.
5. Infiks
Infiks adalah semacam morfem terikat yang disispkan pada sebuah kata antara konsonan pertama dan vokal pertama. Jenis morfem ini sekarang tidak produktif lagi; pemakaiannya terbatas pada beberapa kata saja. Infiks yang ada dalam bahasa Indonesia hanyalah: -el, -er, dan –em.
A. Fungsi
Membentuk kata-kata baru, dan biasanya tidak berbeda jenis kata dengan kata dasarnya.
B. Arti
a. Banyak dan bermacam-macam.
Contoh: tali > temali, gigi > gerigi
b. Menyatakan intensitas dan frekuensi.
Contoh: getar > gemetar, guruh > gemuruh
c. Mempunyai sifat atau memiliki hal yang disebut dalam kata dasar; dapat pula berarti yang melakukan.
Contoh: gembung > gelembung, tunjuk > telunjuk, turun > temurun, gilang > gemilang
Kata Majemuk
Kata Majemuk atau Kompositum adalah gabungan dari da kata atau lebih yang membentuk suatu kesatuan arti.
Pada umumnya struktur kata majemuk sama seperti kata biasa yaitu tidak dapat dipecahkan lagi atas bagian-bagian yang lebih kecil. Contoh: saputangan, matahari, orangtua, kakitangan, dan lain-lain. Namun pada kenyataannya, ada bentuk kata yang lazimnya dianggap sebagai kata majemuk, masih menunjukkan struktur yang renggang, dalam artian masih dapat dipisahkan oleh unsure-unsur lain.
Contoh: rumah makan = at dipulangkan kepada frase rumah tempat makan.
1. Terjadinya Kata Majemuk
Untuk mendapat suatu gambaran yang jelas, kita harus meninjau sejarah terbentuknya kata-kata maemuk tersebut. Menurut sejarah kata-kata majemuk itu pada mulanya merupakan urutan kata yang bersifat sintaksis. Dalam urutannya yang bersifat sintaksis tadi, tiap-tiap bentuk mengandung arti yang sepenuhnya sebagai sebuah kata. Tetapi lambat laun karena sering dipakai, hubungan sintaksis itu menjadi beku; dan sejalan dengan gerak pembekuan tersebut, bidang arti yang didukung tiap-tiap bentuk juga lenyap dan terciptalah bidang arti baru yang didukung bersama. Dan dalam proses ini tidak semua urutan itu telah sampai kepada taraf terakhir. Ada urutan kata yang masih dalam gerak ke arah pembekuan, ada yang sudah sampai kepada pembekuan itu yang masih dalam gerak itu dapat disebabkan karena gabungan itu memang sifatnya sangat longgar atau karena istilah tersebut baru saja tercipta.
Kata-kata yang masih dalam gerak inilah yang masih dapat dipecahkan strukturnya dengan meyisipkan kata-kata lain di antaranya, atau dapat dikembalikan kepada bentuk lain dengan cara transformasi. Tetapi karena frekuensi pemakaian tinggi, serta keterangan yang menerangkan bentuk itu harus selalu mengenai kesatuannya, maka kata-kata tersebut dimasukkan juga ke dalam kata majemuk.
Contoh: Rumah makan, walaupun strukturnya agak longgar, namun sering dipakai sebagai satu kesatuan arti; di samping itu keterangannya harus menerangkan keseluruhannya. Rumah makan yang baru; ‘yang baru' bukan menerangkan makan saja atau rumah saja, tetapi seluruh kesatuan itu.
2. Sifat Kata Majemuk
Berdasarkan sifat kata majemuk dengan melihat adanya inti dari pada kesatuan itu, maka kata majemuk dapat dibagi atas:
a. Kata majemuk yang bersifat eksosentris.
b. Kata majemuk yang bersifat endosentris.
Kata majemuk yang bersifat eksosentris adalah kata majemuk yang tidak mengandung satu unsure inti dari gabungan itu. Dengan kata lain kedua-duanya merupakan inti. Contoh: tuamuda, hancurlebur, kakitangan, dan lain-lain.
Sebaliknya, jika ada satu unsur yang menjadi inti dari gabungan itu maka sifatnya endosentris. Contoh: saputangan, orangtua, matahari, dan lain-lain, dimana sapu, orang, dan mata merupakan unsur intinya.
3. Ciri-ciri Kata Majemuk
Ciri kata majemuk antara lain sebagai berikut:
a. Gabungan itu membentuk satu arti yang baru.
b. Gabungan itu dalam hubungannya ke luar membentuk satu pusat, yang menarik keterangan atas kesatuan itu, bukan atas bagian-bagiannya.
c. Biasanya terdiri dari kata-kata dasar.
d. Frekuensi pemakaiannya tinggi.
e. Terutama kata-kata majemuk yang bersifat endosentris, terbentuk menurut hokum DM (Diterangkan mendahului Menerangkan).
4. Bentuk Perulangan pada Kata Majemuk
Pada dasarnya karena kata-kata majemuk membentuk suatu kesatuan maka bentuk-ulangnya harus secara penuh yaitu diulang keseluruhannya.
Contoh: rumah sakit-rumah sakit, saputangan-saputangan
Tetapi seringkali kita menjumpai hal-hal yang sebaliknya yaitu perulangan yang dilakukan bukan atas keseluruhannya melainkan hanya sebagian saja.
Contoh: rumah-rumah sakit, sapu-sapu tangan
Dalam pemakaian bahasa sehari-hari ada kecenderungan untuk mengadakan penghematan dalam pemakaian bahasa, dasar ekonomis. Dasar ekonomis ini hanya dapat digunakan bila gerak yang berlawanan itu tidak membawa perbedaan paham. Dalam hubungan ini agaknya dapat dijelaskan oleh kata ulang dwipurwa dalam bahasa Indonesia, yakni mula-mula orang mengulang seluruhnya, tetapi karena prinsip ekonomis tadi, akhirnya hanya sebagian saja dari lingga yang diulang.
Semua arus-ujaran yang sampai ke telinga kita terdengar sebagai suatu rangkaian kesatuan. Bila kita berusaha memotong-motong suatu arus-ujaran yang sederhana seperti:
/ p e k e r j a a n m e r e k a m e m u a s k a n /
maka potongan-potongan (segmen) yang akan kita dapat yaitu potongan-potongan yang merupakan kesatuan yang langsung membina kalimat itu adalah: pekerjaan, mereka dan memuaskan . Unsur mereka di satu pihak tidak dapat dipecahkan lagi, sedangkan unsur pekerjaan dan memuaskan masih dapat dipecahkan lagi menjadi: kerja dan pe-an , serta puas dan me-kan.
Unsur-unsur kerja dan puas dapat pula dengan langsung membentuk kalimat seperti tampak dalam contoh berikut:
• Kerja itu belum selesai
• Saya belum puas
Sebaliknya unsur-unsur pe-an dan me-kan tidak bisa langsung membentuk sebuah kalimat. Unsur-unsur ini juga tidak bisa berdiri sendiri, selalu harus diikatkan kepada unsur-unsur lain seperti puas, kerja, dan lain-lain. Untuk ikut serta dalam membentuk sebuah kalimat, unsur-unsur pe-an dan me-kan pertama-tama harus digabungkan dengan unsur puas dan kerja.
A. Morfem
Kedua macam unsur itu, baik kerja dan puas , maupun pe-an dan me-kan mempunyai suatu fungsi yang sama yaitu membentuk kata. Unsur pembentuk itu, baik yang bebas ( kerja dan puas ) maupun yang terikat ( pe-an dan me-kan ) dalam tata bahasa disebut morfem (dari kata morphe = bentuk, akhiran ¬ema¬ = yang mengandung arti). Jadi dalam bahasa Indonesia kita dapati dua macam morfem yaitu:
a. Morfem dasar atau morfem bebas , seperti: kerja, puas, bapak, kayu, rumah, tidur, bangun, sakit, pendek, dan lain-lain.
b. Morfem terikat , seperti: pe-, -an, pe-an, ter-, ber-, me-, dan lain-lain.
Dalam tata bahasa Indonesia morfem dasar atau morfem bebas itu disebut kata dasar , sedangkan morfem terikat disebut imbuhan.
Batasan: Morfem adalah kesatuan yang ikut serta dalam pembentukan kata dan yang dapat dibedakan artinya.
B. Alomorf
Dalam merealisasikan morfem-morfem tersebut, pada suatu ketika kita sampai kepada suatu kenyataan bahwa morfem-morfem itu dapat juga mengalami variasi atau perubahan bentuk. Misalnya morfem ber- dalam bahasa Indonesia dalam realisasinya dapat mengambil bermacam-macam bentuk:
ber- be- bel-
berlayar bekerja belajar
bersatu berambut
bergirang beruang
berdiri berakit dan lain-lain.
Perubahan bentuk ber- menjadi be- atau bel- disebabkan oleh lingkungan yang dimasukinya. Bila ber- memasuki suatu lingkungan kata yang mengandung fonem /r/ dalam suku kata pertama, maka fonem /r/ dalam morfem ber- itu ditanggalkan. Dalam suatu kesempatan unsur /r/ itu berubah menjadi /l/. Bentuk-bentuk variasi dari pada morfem itu disebut alomorf .
Batasan: Alomorf adalah variasi bentuk dari suatu morfem disebabkan oleh pengaruh lingkungan yang dimasukinya.
Dalam Morfologi atau Ilmu Bentuk Kata dibicarakan bagaimana hubungan antara morfem dengan morfem, antara morfem dengan alomorf, serta bagaimana pula menggabungkan morfem-morfem itu untuk membentuk suatu kata.
Kata Ulang
Kata ulang disebut juga reduplikasi.
1. Macam-Macam Kata Ulang
Berdasarkan macamnya bentuk perulangan dalam bahasa Indonesia dapat kita bagi menjadi empat macam:
a. Reduplikasi atas suku kata awal, atau di sebut juga dwipurwa. Dalam bentuk perulangan ini vokal dari suku kata awal mengalami pelemahan dan bergeser ke posisi tengah menjadi e (pepet).
Contoh: tatangga > tetangga
luluhur > leluhur
luluasa > leluasa
b. Reduplikasi atas seluruh bentuk dasar. Ulangan ini di sebut ulangan utuh. Ulangan utuh ada dua macam, yaitu ulangan atas bentuk dasar yang berupa kata dasar atau disebut juga dwilingga, dan ulangan atas bentuk dasar berupa kata jadian berimbuhan.
Contoh: rumah > rumah-rumah kejadian > kejadian-kejadian
anak > anak-anak pencuri > pencuri-pencuri
c. Reduplikasi yang juga terjadi atas seluruh suku kata, namun pada salah satu lingganya terjadi perubahan suara pada suatu fonem atau lebih. Perulangan macam ini disebut dwilingga salin suara.
Contoh: gerak-gerak > gerak-gerik
sayur-sayur > sayur-mayur
d. Reduplikasi dengan mendapat imbuhan, baik pada lingga pertama maupun pada lingga kedua. Ulangan macam ini disebut ulangan berimbuhan.
Contoh: bermain-main, berkejar-kejaran, melihat-lihat, tarik-menarik.
2. Fungsi
Kata ulang berfungsi sebagai alat untuk membentuk jenis kata, dan dapat dikatakan bahwa perulangan sebuah kata akan menurunkan jenis kata yang sama seperti bila kata itu tidak diulang.
3. Arti
Adapun arti yang dapat didukung oleh perulangan adalah:
a. Mengandung arti banyak yang tak tentu.
Contoh: Ayah membelikan saya sepuluh buah buku (banyak tentu)
Buku-buku itu telah kusimpan dalam lemari (banyak tak tentu)
b. Mengandung arti bermacam-macam.
Contoh: pohon-pohonan, buah-buahan.
c. Menyerupai atau tiruan dari sesuatu.
Contoh: kuda-kuda, anak-anakan, langit-langit.
d. Melemahkan arti, dalam hal ini dapat diartikan dengan agak.
Contoh: Sifatnya kekanak-kanakan.
Ia berlaku kebarat-baratan.
Orang itu sakit-sakitan.
e. Menyatakan intensitas, baik kualitas, kuantitas, maupun frekuensi.
i) Intensitas kualitatif: Pukullah kuat-kuat.
Belajarkah segiat-giatnya.
ii) Intensitas kuantitatif: kuda-kuda, rumah-rumah.
iii) Intensitas frekuentatif: Ia menggeleng-gelengkan kepalanya.
Ia mondar-mandir sejak tadi.
f. Menyatakan arti saling, atau pekerjaan yang berbalasan.
Contoh: Keduanya bersalam-salaman.
Dalam perkelahian itu terjadi tikam-menikam antara kedua orang tersebut.
g. Perulangan pada kata bilangan mengandung arti kolektif.
Contoh: dua-dua, tiga-tiga, lima-lima.
4. Ada beberapa kata yang selintas tampaknya seolah-olah merupakan kata ulang seperti biri-biri dan kupu-kupu. Kata-kata kupu-kupu dan biri-biri keseluruhannya merupakan kata dasar, bukan kata ulang. Dalam pemakaian sehari-hari dalam bahasa Indonesia tidak terdapat bentuk seperti biri dan kupu.
Imbuhan
1. Prefiks atau awalan
Prefiks atau awalan adalah suatu unsur yang secara struktural diikatkan di depan sebuah kata dasar atau bentuk dasar.
Prefiks ber-
a. Bentuk
Pada umumnya morfem ber- dirangkaikan saja di depan sebuah kata dengan tidak mengalami perubahan apa pun:
Ber + kuda > berkuda
Ber + sepeda > bersepeda
Kecuali bila fonem awal dimulai dengan fonem /r/, maka ber- mengambil bentuk lain yaitu /be- /:
Ber + racun > beracun
Ber + raja > beraja
Di samping itu sering dikatakan juga nahwa bila suku kata pertama mengandung /r/ maka ber- berubah juga menjadi be-. Namun perubahan bentuk tersebut hanya terjadi pada beberapa kata yang menjadi perkecualian, seperti bekerja, beterbangan, dan bepergian. Pada suatu kesempatan yang lain fonem /r/ itu berubah menjadi /l/ karena proses disimilasi yaitu pada kata belajar. Variasi dari pada bentuk ber- menjadi be- atau bel- itu disebabkan oleh lingkungannya.
Bentuk-bentuk variasi itu disebut alomorf.
b. Fungsi
Fungsi Prefiks ber- antara lain:
i) Membentuk kata kerja.
ii) Merupakan transformasi dari kata mempunyai atau memiliki.
c. Arti
Kemungkinan-kemungkinan arti yang dapat didukung oleh morfem ber- adalah sebagai berikut:
1. Mengandung arti mempunyai atau memiliki.
Contoh: bernama, beribu, berkaki, bermata.
2. Mempergunakan atau memakai sesuatu yang disebut dalam kata dasar.
Contoh: berkereta, berbaju, bersepeda, berkacamata.
3. Mengerjakan sesuatu atau mengadakan sesuatu.
Contoh: bersawah, bertukang, bernafas.
4. Memperoleh atau menghasilkan sesuatu.
Contoh: bersiul, bertelur, beruntung, berhujan.
5. Berada dalam keadaan sebagai yang disebut dalam kata dasar.
Contoh: beramai-ramai, bergegas-gegas, bermalas-malas.
6. Bila kata dasarnya adalah kata bilangan atau kata benda yang menyatakan ukuran, maka ber- mengandung arti himpunan.
Contoh: bersatu, berdua, bertahun-tahun, bermeter-meter.
7. Menyatakan perbuatan yang intransitif.
Contoh: berjalan, berkata, berdiri, berubah.
8. Menyatakan perbuatan berbalasan atau timbal balik resiprok.
Contoh: berkelahi, bergulat, bertinju.
9. Menyatakan perbuatan mengenai diri sendiri atau refleksif.
Contoh: berhias, bercukur, berlindung.
10. Bila dirangkaikan di depan sebuah kata yang berobjek maka mengandung arti mempunyai pekerjaan itu.
Contoh: bermain mata, bermain bola, bertolak pinggang.
Prefiks ke-
A. Bentuk
Bentuk prefiks ke- tidak mengalami perubahan dalam penggabungannya dengan suatu kata dasar. Di sini perlu dengan tegas dibedakan dua hal yang berlainan yaitu: prefiks ke- dan kata tugas ke . Kata tugas ke tidak dimasukkan dalam prefiks ke-, karena statusnya lain dari imbuhan; kata tugas ke sepenuhnya berstatus kata, maka harus diperlakukan pula sebagai kata.
B. Fungsi dan Arti
Karena fungsi prefiks ke- ini lebih dari satu, dan sejajar pula dengan arti yang didukungnya, maka fungsi dan arti di sini dibicarakan bersama-sama:
1. Untuk membentuk kata bilangan tingkat, yaitu tempat keberapa suatu barang atau hal berada.
Contoh: anak keempat, buku kelima.
2. Untuk membentuk kata bilangan kumpulan.
Contoh: keempat anak itu, kelima buku tersebut.
3. Untuk membentuk kata benda, dan mengandung yang di- .
Contoh: ketua, kehendak, kekasih.
Prefiks me-
a. Bentuk
Dalam membentuk suatu kata dengan prefiks me-, perlu diperhatikan ketentuan-ketentuan berikut.
1. Kata dasar yang dirangkaikan dengan prefiks me- pertama-tama mendapat proses nasalisasi.
2. Nasal yang didapat haruslah homorgan dengan fonem awal dari kata dasar itu.
3. Bila fonem awal suatu kata adalah konsonan besuara, maka fonem itu tidak luluh. Sebaliknya bila fonem awal dari kata dasarnya adalah konsonan tak bersuara maka fonem itu mengalami peluluhan.
besar > membesarkan
kasih > mengasihi
b. Fungsi
Fungsi yang utama dari prefiks me- adalah membentuk kata kerja, baik transitif maupun intransitif.
c. Arti
Bidang arti yang dapat didukung oleh prefiks me- dapat ditinjau dari dua segi berdasarkan fungsi me- itu, sebagai pembentuk kata kerja transitif atau intransitif:
a) Intransitif
1. Mengerjakan sesuatu perbuatan atau gerakan.
Contoh: menari, menyanyi, melompat.
2. Menghasilkan atau membuatu sesuatu hal.
Contoh: menguak, menyalak, meringkik.
3. Bila kata dasarnya menyatakan tempat, maka kata yang mengandung me- itu berarti menuju ke arah.
Contoh: menepi, meyisir, melaut, mendarat.
4. Prefiks me- dapat juga diartikan dengan berbuat seperti, berlaku seperti atau menjadi seperti.
Contoh: merajalela, membatu, menyemak, menghutan.
5. Bila kata dasarnya kata sifat atau kata bilangan maka me- mengandung arti menjadi.
Contoh: meninggi, merendah, memutih, mendua.
6. Suatu variasi lain dari me- + kata bilangan adalah membuat untuk kesekian kalinya, terutama dalam beberapa ungkapan.
Contoh: menujuh hari, meniga hari.
b) Transitif
1. Melakukan suatu perbuatan.
Contoh: menulis, menikam, menyiksa, membuang, menangkap.
2. Mempergunakan atau bekerja dengan apa yang terkandung dalam kata dasar.
Contoh: menyabit, menyapu, memarang.
3. Membuat atau menghasilkan apa yang disebut dalam kata dasar.
Contoh: menyambal, menggulai.
Prefiks pe-
A. Bentuk
Mengapa dalam segi bentuk kita berjumpa dengan beberapa variasi bentuk pe-, misalnya pe-, pe- + Nasal, per-. Pertama-tama harus dibedakan dua hal yang dapat menjelaskan perbedaan tersebut:
1. Pembentukan kata suatu kata baru langsung dengan prefiks pe-, biasanya langsung dari suatu kata benda atau kata sifat, misalnya: petani, pelaut, pedagang, pemarah, perusak, dan sebagainya.
2. Pembentukan kata baru melalui pembedaan suatu kata kerja yang mengandung prefiks me-. Dalam hal ini kata dasar yang mendapat awalan pe- itu juga mendapat nasal seperti terjadi dengan awalan me-, misalnya: pembaca, pencuri, pengawal, penggali, dan lain-lain.
B. Fungsi
Fungsi dari prefiks pe- adalah membentuk kata benda.
C. Arti
Arti yang mungkin didukung oleh prefiks pe- adalah:
1. Menyatakan orang yang mengerjakan sesuatu (persona agentis).
Contoh: pelempar, pembuat, pembaca, pengawal.
2. Menyatakan alat.
Contoh: penggali, penglihat, perasa.
3. Menyatakan sesuatu yang di- .
Contoh: petunjuk, penampung, pesuruh, petaruh.
4. Menyatakan orang yang biasa bekerja di suatu tempat.
Contoh: pelaut, pedagang.
5. Menyatakan sesuatu atau seseorang yang mempunyai sifat itu.
Contoh: pemarah, pemalas.
6. Orang yang gemar membuat sesuatu.
Contoh: pencandu, penjudi, pemakan.
Prefiks per-
A. Bentuk
Prefiks per - sebagai imbuhan untuk membentuk kata kerja mengalami variasi bentuk menjadi pe- , terutama pada kata-kata yang mulai dengan fonem /r/ seperti perendahm perebut, dan sebagainya. Karena fungsi per - di sini adalah membentuk kata kerja maka dalam hal ini dapat digabungkan lagi dengan prefiks me- dengan ketentuan fonem /p/ dalam prefiks per- tidak boleh diluluhkan.
Contoh: mempertinggi, memperbesar
B. Fungsi
Prefiks per - berfungsi untuk membentuk kata kerja.
C. Arti
Arti yang didukung per- dalam pembentukan kata kerja pada umumnya mengandung arti kausatif, yaitu menyebabkan terjadinya atau adanya sesuatu. Arti kausatif ini dapat diperinci lagi dengan:
1. Menjadikan, membuat sesuatu jadi.
Contoh: perbudak, perhamba, perdewa.
2. Memanggil atau menganggap sebagai.
Contoh: pertuan, peradik.
3. Bila kata dasarnya kata bilangan maka arti yang didukukng adalah membagi, membuat jadi .
Contoh: perdua, perlima, persepuluh.
4. Bila kata dasarnya kata keadaan maka berarti membuat lebih .
Contoh: pertinggi, perburuk, perbesar, perhebat.
6. Arti lain yang dikandung oleh per- adalah menyatakan intensitas.
Contoh: perturut, pertimba.
Prefiks se-
A. Bentuk
Awalan se- berasal dari sa yang berarti satu, tetapi karena tekanan struktur kata, vokal a dilemahkan menjadi e. Bentuk awalan se- tidak mengalami perubahan atau variasi bentuk.
B. Arti
Arti awalan se- adalah:
1. Menyatakan arti satu.
Contoh: seorang, sebuah, sebiji, sekota, segenap.
2. Menyatakan arti bersama-sama.
Contoh: serumah, sekelas, sekota.
3. Menyatakan satu waktu (aspek simultatif).
Contoh: setibanya, seperginya, sedatangnya.
4. Menyatakan sama dengan atau menyerupai.
Contoh: Ombak itu setinggi gunung.
Anak itu sepandai kakaknya.
5. Menyatakan sebanyak atau seberapa .
Contoh: Ambillah barang itu semaumu .
Setahuku, ia tidak terlibat dalam masalah itu.
6. Bila prefiks se- diikuti reduplikasi kata sifat, maka prefiks se- itu mengandung arti paling .
Contoh: setinggi-tingginya sepandai-pandainya
serajin-rajinnya secepat-cepatnya
C. Transposisi
Di samping bermacam-macam arti yang dapat didukung oleh prefiks se-, prefiks ini juga digunakan untuk membentuk kata tugas. Dalam hal ini pada mulanya se- dalam kata-kata itu masih mengandung arti sebagai yang telah diterangkan di atas. Lambat laun arti itu hilang dan bentuk tersebut pada akhirnya dianggap sebagai kata tugas.
Contoh: selagi sekali selama
secukupnya sedari sesungguhnya
sepatutnya sebenarnya seharusnya
Prefiks ter-
A. Bentuk
Seperti halnya dengan prefiks ber-, prefiks ter- pun mempunyai beberapa alomorf, antara lain: ter- dan te- ; pada beberapa kata ter- mendapat proses asimilasi menjadi te(l).
Contoh: terlanjur > telanjur
terlantar > telantar
terlentang > telentang
B. Fungsi
Prefiks ter- mempunyai dua fungsi:
1. Menyatakan aspek.
2. Membentuk atau menyatakan perbandingan.
C. Arti
Arti yang dapat didukung oleh prefiks ter- dapat disusun sebagai berikut:
1. Menyatakan aspek perspektif atau suatu perbuatan yang telah selesai dikerjakan.
Contoh: terikat, terhunus.
2. Menyatakan aspek kontinuatif atau suatu perbuatan yang berlangsung terus.
Contoh: lampu itu terpasang sampai pagi.
3. Menyatakan aspek spontanitas atau suatu perbuatan yang berlangsung dengan serta-merta atau tidak disengaja.
Contoh: terperosok, teringat, terkejut, tertegun.
4. Menyatakan kesanggupan, dan dalam hal ini dapat diartikan dengan dapat di-.
Contoh: peti itu tidak terangkat oleh kami.
5. Bila kata dasarnya mengalami reduplikasi, maka ter- dapat mengandung arti intensitas, kesangatan, atau perulangan suatu peristiwa (aspek repetitif).
Contoh: Ia berjalan tergesa-gesa.
Anak itu tertawa terbahak-bahak.
6. Menyatakan tingkat yang paling tinggi atau tertinggi dalam suatutingkat perbandingan.
Contoh: terbesar, tertinggi, terhina, termurah.
Awalan-Awalan Baru
Akibat perkenalan dengan berbagai istilah asing, maka dirasa perlu menambahkan perbendaharaan bentuk-bentuk terikat dalam bahasa Indonesia. Lebih-lebih dalam terjemahan beermacam-macam prefiks asing, perlulah kita memperkaya bahasa Indonesia dengan bentuk-bentuk terikat yang baru. Oleh Komisi Istilah telah ditetapkan beberapa macam bentuk yang terikat untuk menterjemahkan prefiks-prefiks asing. Walaupun sudah ditetapkan oleh suatu badan yang kompeten, namun pemakaiannya tidak dapat dipaksakan, sehingga prefiks itu belum produktif tampaknya bagi pemakaian umum sehari-hari. Bentuk-bentuk itu lebih sering dipergunakan dalam bentuk-bentuk artikel-artikel ilmiah.
Bentuk-bentuk yang dimaksud adalah:
1. Tak
Bentuk ini dipakai untuk mengimbangi istilah-istilah asing yang memakai prefiks asing a-. Gunanya untuk menidakkan suatu hal. Kata-kata asosial, amoral, asimetri, apatis, diimbangi dengan kata-kata taksosial, taksadar, takorganik, dan sebagainya.
2. Purba
Prefiks ini disejajarkan dengan awalan-awalan asing Ante: antedate, antedelivium. Dalam terminologi baru kita mendapat kata-kata purbatunggal, purbakala, purbasangka.
3. Swa
Mengandung arti sendiri , dipakai untuk menggantikan prefiks asing auto : swakuasa (autokrasi), swariwayat (autobiografi) ; demikian pula dibentuk kata-kata lain seperti swasembada, swadaya, swasta, swalayan , dan sebagainya.
4. Dwi
Prefiks dwi senilai dengan bi- dalam bahasa-bahasa asing: dwiwarna, dwipihak, dwikora, dwipurwa, dan sebagainya.
Catatan: Di samping prefiks dwi-, kita temukan juga prefiks dengan kata-kata bilangan lain seperti tri, catur dan panca , untuk menunjukkan kesatuan yang terdiri dari tiga, empat dan lima orang atau hal, misalnya: trikora, caturtunggal, pancasila, pancaindera, dan sebagainya.
5. Antar
Senilai dengan inter dalam bahasa asing: antartempat (interlokal), antarsekolah, antarnegara, antarhubungan (interelasi), dan sebagainya.
6. Pra
Untuk menggantikan awalan-awalan asing pre-, prae-: pratinjau (preview), prasejarah, prasangka, prakarsa, prakarya, dan sebagainya.
7. Serba
Dipakai sebagai awalan dengan arti semua : serbabaru, serbaputih, serbaguna, serbaasalah, dan sebagainya.
8. Pasca
Prefiks ini mengandung arti sesudah : pascatsunami, pascapertandingan, pascagempa, dan sebagainya.
9. Tuna
Prefiks ini dipakai dengan arti kehilangan sesuatu, ketiadaan sesuatu: tunakarya, tunasusila, tunanetra, tunawisma, tunasosial, dan sebagainya.
10. Ulang
Untuk menyatakan bahwa sesuatu dibuat kembali dipergunakan prefiks ulang . Prefiks ulang sejajar atau senilai dengan prefiks re- , misalnya: ulang=cetak, ulang-susun, dan sebagainya.
11. Maha
Prefiks ini mengandung arti besar, dan diambil dari bahasa Sansekerta. Kata-kata yang mengandung prefiks maha yang sering dijumpai dalam bahasa Indonesia adalah: mahakuasa, mahaadil, mahaguru, mahasiswa, dan sebagainya.
2. Sufiks atau akhiran
Sufiks atau akhiran adalah semacam morfem terikat yang dilekatkan di belakang suatu morfem dasar.
Sufiks -an
Sufiks –an pertama-tama berfungsi dalam bahasa Indonesia. Morfem –an ini tidak mengalami perubahan bentuk dalam penggabungannya dengan unsur-unsur lain.
A. Fungsi
Sufiks –an pertama-tama berfungsi untk membentuk kata benda. Karena pengaruh beberapa bahasa daerah atau dialek maka di sana-sini terdapat pula sufiks –an yang berfungsi membentuk kata sifat, nemun bentuk ini belum terlalu produktif.
B. Arti
Kata-kata yang mengandung sufiks –an, dapat mendukung salah satu arti berikut:
1. Tempat
Contoh: pangkalan, pegangan, tumpuan, hadapan, dan lain-lain.
2. Perkakas atau alat
Contoh: ayunan, kurungan, timbangan, pikulan, dan lain-lain.
3. Hal atau cara
Contoh: Didikan: dapat berarti hal mendidik atau cara mendidik.
Balasan: hal membalas atau cara membalas.
4. Akibat atau hasil perbuatan
Contoh: buatan, hukuman, balasan, karangan, dan lain-lain.
5. Sesuatu yang di... atau sesuatu yang telah... seperti yang telah disebut dalam kata dasar.
Contoh: larangan, catatan, tumbuhan, makanan, pantangan, pakaian, karangan.
6. Seluruh atau himpunan
Contoh: lautan, sayuran, daratan, kotoran, dan lain-lain.
7. Menyerupai atau tiruan dari
Contoh: anak-anakan, kuda-kudaan, dan lain-lain.
8. Tiap-tiap
Contoh: harian, bulanan, mingguan, tahunan, lusinan, dan lain-lain.
9. Sesuatu yang mempunyai sifat sebagai yang diesbut pada kata dasar
Contoh: manisan, asinan, kuningan, lapangan.
10. Menyatakan intensitas baik mengenai kuantitas maupun mengenai kualitas.
Contoh: Mengenai kualitas: besaran, kecilan, tinggian.
Mengenai kuantitas: buah-buahan, sayur-sayuran, tumbuh-tumbuhan, dan lain-lain.
Sufiks -man, -wan, -wati
A. Bentuk
Ketiga macam sufiks ini berasal dari bahasa Sansekerta. Dalam bahasa Sansekerta bentuk sufiks –man dan –wan dipakai untuk menunjukkan jenis jantan, sedangkan bentuk betina untuk masing-masing bentuk adalah –mati dan –wati. Tetapi dalam bahasa Indonesaia sufiks –mati menimbulkan nilai rasa yang lain sekali, yaitu diasosiakan dengan kata mati sebagai lawan kata hidup. Oleh sebab itu bentuk tersebut tidak diterima. Untuk menyatakan bentuk betina yang sejajar dengan –man dipergunakan bentuk –wati, yaitu bentuk betina dari –wan.
B. Arti
Arti ketiga sufiks ini adalah yang mempunyai.
Contoh: seniman cendekiawan seniwati
budiman karyawan wartawan
sukarelawan gerilyawan negarawan
Sufiks -kan
A. Bentuk
Bentuknya tidak berubah.
B. Fungsi
Sufiks – kan berfungsi untuk membentuk kata kerja.
C. Arti
Macam-macam bidang arti yang dapat didukung oleh sufiks – kan adalah:
a. Menyatakan kausatif. Pengertian kaudatif berarti membuat, menyebabkan sesuatu atau menjadikan sesuatu.
Contoh: menerbangkan, melemparkan, menyeberangkan, mengemukakan, menyakitkan, dan lain-lain.
b. Suatu variasi dari arti kausatif adalah menggunakan sebagai alat, atau membuat dengan.
Contoh: menikamkan tombak, memukulkan tongkat.
c. Menyatakan beneaktif, atau membuat untuk orang lain.
Contoh: membelikan, meminjamkan
d. Ada pula sufiks – kan yang sebenarnya merupakan ringkasan dari kata tugas akan.
Contoh: mengharapkan = mengharap akan
sadarkan = sadar akan
Baik sufiks – kan maupun sufiks –i mempunyai fungsi yang sama yaitu membentuk kata kerja. Tetapi kedua akhiran itu mengandung suatu perbedaan terutama dalam hubungan dengan objeknya. Hubungan antara kata kerja yang berakhiran –i¬ dengan objeknya adalah objek berada dalam keadaan diam, menjadi tempat berlangsungnya perbuatan itu. Sedangkan untuk sufiks – kan¬, objeknya berada dalam keadaan bergerak.
Contoh: Perhimpunan itu mendatangkan sebuah regu sepak bola.
Kami sendiri mendatangi tempat itu.
Walaupun begitu kadang-kadang tidak terasa lagi perbedaan antara kedua akhiran itu.
Sufiks -i
A. Bentuk
Tidak mengalami perubahan.
B. Fungsi
Sufiks –I berfungsi untuk membentuk kata kerja.
C. Arti
Tafsiran arti yang diturunkan dari kata-kata yang berakhiran –i adalah sebagai berikut:
1. Menyatakan bahwa objek dari kata-kerja itu menunjukkan suatu tempat atau arah berlangsungnya peristiwa tersebut ( lokatif ). Karena objeknya itu menjadi tempat berlangsungnya suatu peristiwa, maka akibatnya objek itu tidak bergerak, berada dalam keadaan diam.
Contoh: Kami menanyai mereka.
Saya mengelilingi kota.
2. Kadang-kadang arti lokatif itu mendapat arti jhusus, yaitu memberi kepada atau menyebabkan sesuatu jadi.
Contoh: Menghargai jasa orang.
Menyakiti hatinya.
Menghormati orang tua.
3. Menyatakan intensitas, atau pekerjaan itu dilangsungkan berulang-ulang (frekuentatif), atau pelakunya lebih dari satu orang.
Contoh: Tentara itu menembaki benteng musuh.
Anak-anak itu melempari anjing itu.
Sufiks -nya
Pertama-tama harus ditegaskan bahwa ada dua macam nya. Nya jenis pertama adalah kata ganti orang ketiga tunggal, baik dalam fungsinya sebagai pelaku atau pemilik. Dalam hal ini nya tidak berstatus akhiran. Nya yang kedua adalah –nya¬ yang berstatus akhiran.
Akhiran –nya mempunyai fungsi sebagai berikut:
a. Untuk mengadakan transposisi atau suatu jenis kata lain menjadi kata benda.
Contoh: baik buruk nya, merajalela nya, timbul tenggelam nya.
b. Menjelaskan atau menekankan kata yang berasa di depannya.
Contoh: Tamunya belum datang.
Ambilah obatnya dan minumlah.
Di rumah itu ada hantunya.
c. Menjelaskan situasi.
Contoh: Ia belajar dengan rajinnya.
Angin bertiup dengan kencangnya.
Ia menyanyi dengan merdunya.
d. Di samping itu ada beberapa kata tugas dibentuk dengan mempergunakan akhiran –nya.
Contoh: agaknya, rupanya, sesungguhnya, sebenarnya, dan lain-lain.
Sufiks-Sufiks Asing
Selain dari akhiran-akhiran yang telah dibahas di halaman-halaman lain, masih banyak lagi akhiran-akhiran asing lain yang dimasukkan ke dalam bahasa Indonesia bersama-sama dengan penerimaan kata-kata dasarnya. Ada yang tidak dirasakan sebagai akhiran, ada yang masih dirasakan sebagai akhiran. Ada yang berfungsi untuk membentuk kata benda, ada yang berfungsi untuk membentuk kata kerja juga kata sifat.
Umumnya kedudukan sufiks-sufiks itu belum stabil; ada orang yang ingin mempertahankannya sesuai dengan bentuk aslinya, ada pula yang berusaha untuk mengadaptasikannya sesuai dengan struktur bahasa Indonesia. Dalam hal yang terakhir ini seringkali kita terbentuk pada perbedaan rasa atau pendapat, karena tak ada patokan bentuk mana yang lebih sesuai dengan selera bahasa Indonesia.
ari sekian banyak bentuk sufiks asing ini, cukup saja kita menyebut beberapa: -isme, is, er, if, ir, il (akhiran –il menurut Pedoman EYD lebih baik diganti dengan –al ), dan lain-lain. Contoh-contohnya banyak kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari, dalam koran-koran, buku-buku dan sebagainya.
3. Konfiks
Konfiks adalah gabungan dari dua macam imbuhan atau lebih yang bersama-sama membentuk satu arti.
Di sini perlu ditegaskan bahwa antara konfiks dan gabungan imbuhan ada perbedaan besar. Pada gabungan imbuhan tiap-tiap unsur tetap mempertahankan arti dan fungsinya masing-masing. Bentuk-bentuk seperti mempercepat, mempersatukan, dibesarkan, san lain-lain masing-masing mengandung makna dan fungsi tersendiri. Imbuhan me + per, me + per + kan, dan di + kan di sini bukanlah konfiks tetapi merupakan gabungan imbuhan dari prefiks dan sufiks.
Sebaliknya, bentuk-bentuk seperti pertahanan, kebesaran, permainan, dan lain-lain mengandung struktur yang berbeda dengan bentuk-bentuk di atas. Karena di sini bentuk per – an dan ke – an tidak dapat ditafsirkan secara tersendiri, tatapi bersama-sama membentuk satu arti dan bersama-sama pula membentuk satu fungsi. Bantuk ini dalam realisasinya terbelah, tetapi pembelahan itu tidak mengurangi hakekatnya sebagai satu morfem. Morfem semacam ini desibut morfem terbelah. Bentuk-bentuk semacam ini tidak janggal dalam bahasa Indonesia. Kata-kata seperti tali, gunung, dan lain-lain juga jelas merupakan satu kesatuan tetapi kadang-kadang bentuk itu mengalami proses pembelahan yaitu ketika disisipkan infiks –em padanya, menjadi temali dan gemunung. Proses pembelahan pada kata atau morfem terikat bukan persoalan baru, tetapi tidak pernah diberi tempat yang wajar. Oleh karena itu Tatabahasa Tradisional memperlakukan konfiks-konfiks sebagai gabungan biasa dari prefiks dan sufiks. Kita harus memulangkan kedudukannya yang sebenarnya sebagai suatu bentuk (morfem) dengan satu kesatuan fungsi dan arti.
Di antara konfiks-konfiks yang penting dalam bahasa Indonesia adalah:
1. Konfiks per-an
A. Bentuk
Bentuk konfiks per-an dapat mengalami variasi bentuk berdasarkan:
a. Lingkungannya.
Contoh: persatuan, perjanjian,, pelajaran, pekerjaan, perambatan, dan lain-lain.
b. Dasar kata dari mana kata itu dibentuk.
- Jika pembentukannya mempergunakan kata benda sebagai kata dasar maka akan mengambil bentuk pe-an. Contoh: pekuburan, pedesaan.
- Jika pembentukannya berasal dari suatu kata kerja yang mempergunakan awalan ber-, maka kata benda itu akan mengambil bentuk per-an atau pe-an, sesuai dengan awalan ber- dengan alomorfnya. Contoh: perbuatan, pelayaran.
- Jika pembentukannya berasal dari satu kata kerja yang mempergunakan awalan me- maka ia akan mengambil bentuk pe + N + an. Contoh: pembaharuan, penyatuan, penguburan, pemburuan, dan lain-lain.
B. Fungsi
Fungsi per-an adalah untuk membentuk kata benda.
C. Arti
Arti yang mungkin didukung oleh konfiks per-an adalah:
a. Menyatakan tempat.
Contoh: perhentian, pelabuhan, persembunyian, pengadilan, perapian, percetakan.
b. Menyatakan hasil perbuatan.
Contoh: permainan, penyerahan, pertanyaan, pelantikan, pertahanan, perhitungan.
c. Menyatakan peristiwa itu sendiri atau hal perbuatan.
Contoh: pengajaran, pencaharian, pendidikan, peraturan.
4. Gabungan Imbuhan
Gabungan imbuhan adalah pemakaian beberapa imbuhan sekaligus pada suatu kata dasar, yang masing-masing mempertahankan arti dan fungsinya. Imbuhan-imbuhan yang biasa dipakai bersama-sama adalah: me-kan, mem-per-kan, di-per-kan, ter-kan, ber-kan, dan lain-lain.
5. Infiks
Infiks adalah semacam morfem terikat yang disispkan pada sebuah kata antara konsonan pertama dan vokal pertama. Jenis morfem ini sekarang tidak produktif lagi; pemakaiannya terbatas pada beberapa kata saja. Infiks yang ada dalam bahasa Indonesia hanyalah: -el, -er, dan –em.
A. Fungsi
Membentuk kata-kata baru, dan biasanya tidak berbeda jenis kata dengan kata dasarnya.
B. Arti
a. Banyak dan bermacam-macam.
Contoh: tali > temali, gigi > gerigi
b. Menyatakan intensitas dan frekuensi.
Contoh: getar > gemetar, guruh > gemuruh
c. Mempunyai sifat atau memiliki hal yang disebut dalam kata dasar; dapat pula berarti yang melakukan.
Contoh: gembung > gelembung, tunjuk > telunjuk, turun > temurun, gilang > gemilang
Kata Majemuk
Kata Majemuk atau Kompositum adalah gabungan dari da kata atau lebih yang membentuk suatu kesatuan arti.
Pada umumnya struktur kata majemuk sama seperti kata biasa yaitu tidak dapat dipecahkan lagi atas bagian-bagian yang lebih kecil. Contoh: saputangan, matahari, orangtua, kakitangan, dan lain-lain. Namun pada kenyataannya, ada bentuk kata yang lazimnya dianggap sebagai kata majemuk, masih menunjukkan struktur yang renggang, dalam artian masih dapat dipisahkan oleh unsure-unsur lain.
Contoh: rumah makan = at dipulangkan kepada frase rumah tempat makan.
1. Terjadinya Kata Majemuk
Untuk mendapat suatu gambaran yang jelas, kita harus meninjau sejarah terbentuknya kata-kata maemuk tersebut. Menurut sejarah kata-kata majemuk itu pada mulanya merupakan urutan kata yang bersifat sintaksis. Dalam urutannya yang bersifat sintaksis tadi, tiap-tiap bentuk mengandung arti yang sepenuhnya sebagai sebuah kata. Tetapi lambat laun karena sering dipakai, hubungan sintaksis itu menjadi beku; dan sejalan dengan gerak pembekuan tersebut, bidang arti yang didukung tiap-tiap bentuk juga lenyap dan terciptalah bidang arti baru yang didukung bersama. Dan dalam proses ini tidak semua urutan itu telah sampai kepada taraf terakhir. Ada urutan kata yang masih dalam gerak ke arah pembekuan, ada yang sudah sampai kepada pembekuan itu yang masih dalam gerak itu dapat disebabkan karena gabungan itu memang sifatnya sangat longgar atau karena istilah tersebut baru saja tercipta.
Kata-kata yang masih dalam gerak inilah yang masih dapat dipecahkan strukturnya dengan meyisipkan kata-kata lain di antaranya, atau dapat dikembalikan kepada bentuk lain dengan cara transformasi. Tetapi karena frekuensi pemakaian tinggi, serta keterangan yang menerangkan bentuk itu harus selalu mengenai kesatuannya, maka kata-kata tersebut dimasukkan juga ke dalam kata majemuk.
Contoh: Rumah makan, walaupun strukturnya agak longgar, namun sering dipakai sebagai satu kesatuan arti; di samping itu keterangannya harus menerangkan keseluruhannya. Rumah makan yang baru; ‘yang baru' bukan menerangkan makan saja atau rumah saja, tetapi seluruh kesatuan itu.
2. Sifat Kata Majemuk
Berdasarkan sifat kata majemuk dengan melihat adanya inti dari pada kesatuan itu, maka kata majemuk dapat dibagi atas:
a. Kata majemuk yang bersifat eksosentris.
b. Kata majemuk yang bersifat endosentris.
Kata majemuk yang bersifat eksosentris adalah kata majemuk yang tidak mengandung satu unsure inti dari gabungan itu. Dengan kata lain kedua-duanya merupakan inti. Contoh: tuamuda, hancurlebur, kakitangan, dan lain-lain.
Sebaliknya, jika ada satu unsur yang menjadi inti dari gabungan itu maka sifatnya endosentris. Contoh: saputangan, orangtua, matahari, dan lain-lain, dimana sapu, orang, dan mata merupakan unsur intinya.
3. Ciri-ciri Kata Majemuk
Ciri kata majemuk antara lain sebagai berikut:
a. Gabungan itu membentuk satu arti yang baru.
b. Gabungan itu dalam hubungannya ke luar membentuk satu pusat, yang menarik keterangan atas kesatuan itu, bukan atas bagian-bagiannya.
c. Biasanya terdiri dari kata-kata dasar.
d. Frekuensi pemakaiannya tinggi.
e. Terutama kata-kata majemuk yang bersifat endosentris, terbentuk menurut hokum DM (Diterangkan mendahului Menerangkan).
4. Bentuk Perulangan pada Kata Majemuk
Pada dasarnya karena kata-kata majemuk membentuk suatu kesatuan maka bentuk-ulangnya harus secara penuh yaitu diulang keseluruhannya.
Contoh: rumah sakit-rumah sakit, saputangan-saputangan
Tetapi seringkali kita menjumpai hal-hal yang sebaliknya yaitu perulangan yang dilakukan bukan atas keseluruhannya melainkan hanya sebagian saja.
Contoh: rumah-rumah sakit, sapu-sapu tangan
Dalam pemakaian bahasa sehari-hari ada kecenderungan untuk mengadakan penghematan dalam pemakaian bahasa, dasar ekonomis. Dasar ekonomis ini hanya dapat digunakan bila gerak yang berlawanan itu tidak membawa perbedaan paham. Dalam hubungan ini agaknya dapat dijelaskan oleh kata ulang dwipurwa dalam bahasa Indonesia, yakni mula-mula orang mengulang seluruhnya, tetapi karena prinsip ekonomis tadi, akhirnya hanya sebagian saja dari lingga yang diulang.
Himpunan (set)
• Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
• Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Cara Penyajian Himpunan
1. Enumerasi
Contoh 1.
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.
- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
- C = {a, {a}, {{a}} }
- K = { {} }
- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
Keanggotaan
x A : x merupakan anggota himpunan A;
x A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
Contoh 2.
Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
K = {{}}
maka
3 * A
5 * B
{a, b, c} R
c R
{} K
{} R
Contoh 3. Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}}, maka
a P1
a P2
P1 P2
P1 P3
P2 P3
2. Simbol-simbol Baku
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
• Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
3. Notasi Pembentuk Himpunan
Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh 4.
(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5
A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}
atau
A = { x | x * P, x < 5 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}
4. Diagram Venn
Contoh 5.
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
Kardinalitas
• Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.
• Notasi: n(A) atau A
Contoh 6.
(i) B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },
atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8
(ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5
(iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3
Himpunan Kosong
• Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
• Notasi : atau {}
Contoh 7.
(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0
• himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}
• himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}}
• {} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.
Himpunan Bagian (Subset)
• Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.
• Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
• Notasi: A B
• Diagram Venn:
Contoh 8.
(i) { 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {1, 2, 3} {1, 2, 3}
(iii) N * Z * R * C
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x , y 0 } dan
B = { (x, y) | 2x + y < 4, x 0 dan y 0 }, maka B * A.
TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A * A).
(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( * * A).
(c) Jika A B dan B C, maka A C
• * * A dan A * A, maka * dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.
Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A.
• A B berbeda dengan A B
(i) A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B.
A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.
Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}
(ii) A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.
Himpunan yang Sama
• A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
• A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A B.
• Notasi : A = B A B dan B A
Contoh 9.
(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B
(ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B, dan C = C
(b) jika A = B, maka B = A
(c) jika A = B dan B = C, maka A = C
Himpunan yang Ekivalen
• Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
• Notasi : A ~ B A = B
Contoh 10.
Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4
Himpunan Saling Lepas
• Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.
• Notasi : A // B
• Diagram Venn:
Contoh 11.
Jika A = { x | x * P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
Himpunan Kuasa
• Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
• Notasi : P(A) atau 2A
• Jika A = m, maka P(A) = 2m.
Contoh 12.
Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { *, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh 13.
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan kuasa dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}.
Operasi Terhadap Himpunan
a. Irisan (intersection)
• Notasi : A B = { x x A dan x B }
Contoh 14.
(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},
maka A B = {4, 10}
(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A * B = *.
Artinya: A // B
b. Gabungan (union)
• Notasi : A B = { x x A atau x B }
Contoh 15.
(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A * B = { 2, 5, 7, 8, 22 }
(ii) A * * = A
c. Komplemen (complement)
• Notasi : = { x x U, x A }
Contoh 16.
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
(i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6, 8}
(ii) jika A = { x | x/2 * P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }
Contoh 17. Misalkan:
A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri
B = himpunan semua mobil impor
C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990
D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta
E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu
(i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” (E A) (E B) atau E (A B)
(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” A C D
(iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta”
d. Selisih (difference)
• Notasi : A – B = { x x A dan x B } = A
Contoh 18.
(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = *
(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
• Notasi: A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A)
Contoh 19.
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A * B = { 3, 4, 5, 6 }
Contoh 20. Misalkan
U = himpunan mahasiswa
P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80
Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80
Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.
(i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Q
(ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Q
(iii) “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P Q)
TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A B = B A (hukum komutatif)
(b) (A B ) C = A (B C ) (hukum asosiatif)
f. Perkalian Kartesian (cartesian product)
• Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B }
Contoh 20.
(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka
A B = himpunan semua titik di bidang datar
Catatan:
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A B = A . B.
2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) (b, a).
3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong.
Pada Contoh 20(i) di atas, D C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } C D.
4. Jika A = atau B = , maka A B = B A =
Contoh 21. Misalkan
A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }
B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }
Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?
Jawab:
A B = AB = 4 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.
Contoh 21. Daftarkan semua anggota himpunan berikut:
(a) P(Æ) (b) Æ ´ P(Æ) (c) {Æ}´ P(Æ) (d) P(P({3}))
Penyelesaian:
(a) P(Æ) = {Æ}
(b) Æ ´ P(Æ) = Æ (ket: jika A = Æ atau B = Æ maka A ´ B = Æ)
(c) {Æ}´ P(Æ) = {Æ}´ {Æ} = {(Æ,Æ))
(d) P(P({3})) = P({ Æ, {3} }) = {Æ, {Æ}, {{3}}, {Æ, {3}} }
Perampatan Operasi Himpunan
Contoh 22.
(i) A *(B1*B2 * ... *Bn) = (A* B1) * (A * B2) * ... * (A * Bn)
(ii) Misalkan A = {1, 2}, B = {a, b}, dan C = {, }, maka
A B C = {(1, a, ), (1, a, ), (1, b, ), (1, b, ), (2, a, ), (2, a, ), (2, b, ), (2, b, ) }
Hukum-hukum Himpunan
1. Hukum identitas:
* A * * = A
* A * U = A
2. Hukum null/dominasi:
* A * * = *
* A * U = U
3. Hukum komplemen:
* A * = U
* A * = *
4. Hukum idempoten:
* A * A = A
* A * A = A
5. Hukum involusi:
* = A
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
* A * (A * B) = A
* A * (A * B) = A
7. Hukum komutatif:
* A * B = B * A
* A * B = B * A
8. Hukum asosiatif:
* A * (B * C) = (A * B) * C
* A * (B * C) = (A * B) * C
9. Hukum distributif:
* A * (B * C) = (A * B) * (A * C)
* A * (B * C) = (A * B) * (A * C)
10. Hukum De Morgan:
* =
* =
11. Hukum 0/1
* = U
* =
Prinsip Dualitas
• Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.
Contoh: AS kemudi mobil di kiri depan
Inggris (juga Indonesia) kemudi mobil di kanan depan
Peraturan:
(a) di Amerika Serikat,
- mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,
- pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,
- bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung
(b) di Inggris,
- mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,
- pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,
- bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung
Prinsip dualitas:
Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris.
• (Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti *, *, dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti * *, * *, * U, U *, sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.
1. Hukum identitas:
A * * = A
Dualnya:
A * U = A
2. Hukum null/dominasi:
A * * = *
Dualnya:
A * U = U
3. Hukum komplemen:
A * = U
Dualnya:
A * = *
4. Hukum idempoten:
A * A = A
Dualnya:
A * A = A
5. Hukum penyerapan:
A * (A * B) = A
Dualnya:
A * (A * B) = A
6. Hukum komutatif:
A * B = B * A
Dualnya:
A * B = B * A
7. Hukum asosiatif:
A * (B * C) = (A * B) * C
Dualnya:
A * (B * C) = (A * B) * C
8. Hukum distributif:
A * (B * C)=(A * B) * (A * C)
Dualnya:
A * (B * C) = (A * B) * (A * C)
9. Hukum De Morgan:
= *
Dualnya:
= *
10. Hukum 0/1
= U
Dualnya:
=
Contoh 23. Dual dari (A * B) * (A * ) = A adalah
(A * B) * (A * ) = A.
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Untuk dua himpunan A dan B:
A B = A + B – A B
A B = A +B – 2A B
Contoh 24. Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?
Penyelesaian:
A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,
B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,
A B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),
yang ditanyakan adalah A B.
A = 100/3 = 33,
B = 100/5 = 20,
A B = 100/15 = 6
A B = A + B – A B = 33 + 20 – 6 = 47
Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.
Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku
A B C = A + B + C – A B –
A C – B C + A B C
Untuk himpunan A1, A2, …, Ar, berlaku:
A1 A2 … Ar = Ai – Ai Aj +
Ai Aj Ak + … +
(-1)r-1 A1 A2 … Ar
Partisi
• Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga:
(a) A1 A2 … = A, dan
(b) Ai Aj = untuk i j
Contoh 25. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.
Himpunan Ganda
• Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).
Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.
• Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.
• Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.
• Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.
Operasi Antara Dua Buah Multiset:
Misalkan P dan Q adalah multiset:
1. P * Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c },
P * Q = { a, a, a, b, c, c, d, d }
2. P * Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c }
P * Q = { a, a, c }
3. P – Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan:
* multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif
* 0, jika selisihnya nol atau negatif.
Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = { a, a, b, b, b, c,
c, d, d, f } maka P – Q = { a, e }
4. P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q.
Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d },
P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }
Pembuktian Pernyataan Perihal Himpunan
• Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.
• Pernyataan dapat berupa:
1. Kesamaan (identity)
Contoh: Buktikan “A (B C) = (A B) (A C)”
2. Implikasi
Contoh: Buktikan bahwa “Jika A B = dan A (B C) maka selalu berlaku bahwa A C”.
1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn
Contoh 26. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan A (B C) = (A B) (A C) dengan diagram Venn.
Bukti:
A (B C) (A B) (A C)
Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.
Terbukti bahwa A (B C) = (A B) (A C).
• Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.
• Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.
2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan
Contoh 27. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A (B C) = (A B) (A C).
Bukti:
A B C B C A (B C) A B A C (A B) (A C)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Karena kolom A (B C) dan kolom (A B) (A C) sama, maka A (B C) = (A B) (A C).
3. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.
Contoh 28. Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa (A B) (A ) = A
Bukti:
(A B) (A ) = A (B ) (Hukum distributif)
= A U (Hukum komplemen)
= A (Hukum identitas)
Contoh 29. Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A (B – A) = A B
Bukti:
A (B – A) = A (B ) (Definisi operasi selisih)
= (A B) (A ) (Hukum distributif)
= (A B) U (Hukum komplemen)
= A B (Hukum identitas)
Contoh 30. Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa
(i) A ( B) = A B dan
(ii) A ( B) = A B
Bukti:
(i) A ( B) = ( A ) (A B) (H. distributif)
= U (A B) (H. komplemen)
= A B (H. identitas)
(ii) adalah dual dari (i)
A ( B) = (A ) (A B) (H. distributif)
= (A B) (H. komplemen)
= A B (H. identitas)
4. Pembuktian dengan menggunakan definisi
• Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian ( atau ).
Contoh 31. Misalkan A dan B himpunan. Jika A B = dan A (B C) maka A C. Buktikan!
Bukti:
(i) Dari definisi himpunan bagian, P Q jika dan hanya jika setiap x P juga Q. Misalkan x A. Karena A (B C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga (B C).
Dari definisi operasi gabungan (), x (B C) berarti x B atau x C.
(ii) Karena x A dan A B = , maka x B
Dari (i) dan (ii), x C harus benar. Karena x A juga berlaku x C, maka dapat disimpulkan A C .
Tipe Set dalam Bahasa Pascal
• Bahasa Pascal menyediakan tipe data khusus untuk himpunan, yang bernama set. Tipe set menyatakan himpunan kuasa dari tipe ordinal (integer, character).
Contoh:
type
HurufBesar = ‘A’..‘Z’; { enumerasi }
Huruf = set of HurufBesar;
var
HurufKu : Huruf;
Nilai untuk peubah HurufKu dapat diisi dengan pernyataan berikut:
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’];
HurufKu:=[‘M’];
HurufKu:=[]; { himpunan kosong }
• Operasi yang dapat dilakukan pada tipe himpunan adalah operasi gabungan, irisan, dan selisih seperti pada contoh berikut:
{gabungan}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] + [‘C’, ‘D’, ‘E’];
{irisan}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] * [‘C’, ‘D’, ‘E’];
{selisih}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] - [‘C’, ‘D’, ‘E’];
• Uji keanggotaan sebuah elemen di dalam himpunan dilakukan dengan menggunakan opeator in seperti contoh berikut:
if ‘A’ in HurufKu then ...
• Di dalam kakas pemrograman Delphi, set sering digunakan untuk mengindikasikan flag. Misalnya himpunan icon untuk window:
• Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Cara Penyajian Himpunan
1. Enumerasi
Contoh 1.
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.
- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
- C = {a, {a}, {{a}} }
- K = { {} }
- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
Keanggotaan
x A : x merupakan anggota himpunan A;
x A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
Contoh 2.
Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
K = {{}}
maka
3 * A
5 * B
{a, b, c} R
c R
{} K
{} R
Contoh 3. Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}}, maka
a P1
a P2
P1 P2
P1 P3
P2 P3
2. Simbol-simbol Baku
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
• Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
3. Notasi Pembentuk Himpunan
Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh 4.
(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5
A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}
atau
A = { x | x * P, x < 5 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}
4. Diagram Venn
Contoh 5.
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
Kardinalitas
• Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.
• Notasi: n(A) atau A
Contoh 6.
(i) B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },
atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8
(ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5
(iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3
Himpunan Kosong
• Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
• Notasi : atau {}
Contoh 7.
(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0
• himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}
• himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}}
• {} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.
Himpunan Bagian (Subset)
• Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.
• Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
• Notasi: A B
• Diagram Venn:
Contoh 8.
(i) { 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {1, 2, 3} {1, 2, 3}
(iii) N * Z * R * C
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x , y 0 } dan
B = { (x, y) | 2x + y < 4, x 0 dan y 0 }, maka B * A.
TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A * A).
(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( * * A).
(c) Jika A B dan B C, maka A C
• * * A dan A * A, maka * dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.
Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A.
• A B berbeda dengan A B
(i) A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B.
A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.
Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}
(ii) A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.
Himpunan yang Sama
• A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
• A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A B.
• Notasi : A = B A B dan B A
Contoh 9.
(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B
(ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B, dan C = C
(b) jika A = B, maka B = A
(c) jika A = B dan B = C, maka A = C
Himpunan yang Ekivalen
• Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
• Notasi : A ~ B A = B
Contoh 10.
Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4
Himpunan Saling Lepas
• Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.
• Notasi : A // B
• Diagram Venn:
Contoh 11.
Jika A = { x | x * P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
Himpunan Kuasa
• Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
• Notasi : P(A) atau 2A
• Jika A = m, maka P(A) = 2m.
Contoh 12.
Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { *, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh 13.
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan kuasa dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}.
Operasi Terhadap Himpunan
a. Irisan (intersection)
• Notasi : A B = { x x A dan x B }
Contoh 14.
(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},
maka A B = {4, 10}
(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A * B = *.
Artinya: A // B
b. Gabungan (union)
• Notasi : A B = { x x A atau x B }
Contoh 15.
(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A * B = { 2, 5, 7, 8, 22 }
(ii) A * * = A
c. Komplemen (complement)
• Notasi : = { x x U, x A }
Contoh 16.
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
(i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6, 8}
(ii) jika A = { x | x/2 * P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }
Contoh 17. Misalkan:
A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri
B = himpunan semua mobil impor
C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990
D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta
E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu
(i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” (E A) (E B) atau E (A B)
(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” A C D
(iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta”
d. Selisih (difference)
• Notasi : A – B = { x x A dan x B } = A
Contoh 18.
(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = *
(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
• Notasi: A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A)
Contoh 19.
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A * B = { 3, 4, 5, 6 }
Contoh 20. Misalkan
U = himpunan mahasiswa
P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80
Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80
Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.
(i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Q
(ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Q
(iii) “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P Q)
TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A B = B A (hukum komutatif)
(b) (A B ) C = A (B C ) (hukum asosiatif)
f. Perkalian Kartesian (cartesian product)
• Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B }
Contoh 20.
(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka
A B = himpunan semua titik di bidang datar
Catatan:
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A B = A . B.
2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) (b, a).
3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong.
Pada Contoh 20(i) di atas, D C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } C D.
4. Jika A = atau B = , maka A B = B A =
Contoh 21. Misalkan
A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }
B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }
Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?
Jawab:
A B = AB = 4 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.
Contoh 21. Daftarkan semua anggota himpunan berikut:
(a) P(Æ) (b) Æ ´ P(Æ) (c) {Æ}´ P(Æ) (d) P(P({3}))
Penyelesaian:
(a) P(Æ) = {Æ}
(b) Æ ´ P(Æ) = Æ (ket: jika A = Æ atau B = Æ maka A ´ B = Æ)
(c) {Æ}´ P(Æ) = {Æ}´ {Æ} = {(Æ,Æ))
(d) P(P({3})) = P({ Æ, {3} }) = {Æ, {Æ}, {{3}}, {Æ, {3}} }
Perampatan Operasi Himpunan
Contoh 22.
(i) A *(B1*B2 * ... *Bn) = (A* B1) * (A * B2) * ... * (A * Bn)
(ii) Misalkan A = {1, 2}, B = {a, b}, dan C = {, }, maka
A B C = {(1, a, ), (1, a, ), (1, b, ), (1, b, ), (2, a, ), (2, a, ), (2, b, ), (2, b, ) }
Hukum-hukum Himpunan
1. Hukum identitas:
* A * * = A
* A * U = A
2. Hukum null/dominasi:
* A * * = *
* A * U = U
3. Hukum komplemen:
* A * = U
* A * = *
4. Hukum idempoten:
* A * A = A
* A * A = A
5. Hukum involusi:
* = A
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
* A * (A * B) = A
* A * (A * B) = A
7. Hukum komutatif:
* A * B = B * A
* A * B = B * A
8. Hukum asosiatif:
* A * (B * C) = (A * B) * C
* A * (B * C) = (A * B) * C
9. Hukum distributif:
* A * (B * C) = (A * B) * (A * C)
* A * (B * C) = (A * B) * (A * C)
10. Hukum De Morgan:
* =
* =
11. Hukum 0/1
* = U
* =
Prinsip Dualitas
• Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.
Contoh: AS kemudi mobil di kiri depan
Inggris (juga Indonesia) kemudi mobil di kanan depan
Peraturan:
(a) di Amerika Serikat,
- mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,
- pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,
- bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung
(b) di Inggris,
- mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,
- pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,
- bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung
Prinsip dualitas:
Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris.
• (Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti *, *, dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti * *, * *, * U, U *, sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.
1. Hukum identitas:
A * * = A
Dualnya:
A * U = A
2. Hukum null/dominasi:
A * * = *
Dualnya:
A * U = U
3. Hukum komplemen:
A * = U
Dualnya:
A * = *
4. Hukum idempoten:
A * A = A
Dualnya:
A * A = A
5. Hukum penyerapan:
A * (A * B) = A
Dualnya:
A * (A * B) = A
6. Hukum komutatif:
A * B = B * A
Dualnya:
A * B = B * A
7. Hukum asosiatif:
A * (B * C) = (A * B) * C
Dualnya:
A * (B * C) = (A * B) * C
8. Hukum distributif:
A * (B * C)=(A * B) * (A * C)
Dualnya:
A * (B * C) = (A * B) * (A * C)
9. Hukum De Morgan:
= *
Dualnya:
= *
10. Hukum 0/1
= U
Dualnya:
=
Contoh 23. Dual dari (A * B) * (A * ) = A adalah
(A * B) * (A * ) = A.
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Untuk dua himpunan A dan B:
A B = A + B – A B
A B = A +B – 2A B
Contoh 24. Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?
Penyelesaian:
A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,
B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,
A B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),
yang ditanyakan adalah A B.
A = 100/3 = 33,
B = 100/5 = 20,
A B = 100/15 = 6
A B = A + B – A B = 33 + 20 – 6 = 47
Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.
Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku
A B C = A + B + C – A B –
A C – B C + A B C
Untuk himpunan A1, A2, …, Ar, berlaku:
A1 A2 … Ar = Ai – Ai Aj +
Ai Aj Ak + … +
(-1)r-1 A1 A2 … Ar
Partisi
• Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga:
(a) A1 A2 … = A, dan
(b) Ai Aj = untuk i j
Contoh 25. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.
Himpunan Ganda
• Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).
Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.
• Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.
• Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.
• Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.
Operasi Antara Dua Buah Multiset:
Misalkan P dan Q adalah multiset:
1. P * Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c },
P * Q = { a, a, a, b, c, c, d, d }
2. P * Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c }
P * Q = { a, a, c }
3. P – Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan:
* multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif
* 0, jika selisihnya nol atau negatif.
Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = { a, a, b, b, b, c,
c, d, d, f } maka P – Q = { a, e }
4. P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q.
Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d },
P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }
Pembuktian Pernyataan Perihal Himpunan
• Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.
• Pernyataan dapat berupa:
1. Kesamaan (identity)
Contoh: Buktikan “A (B C) = (A B) (A C)”
2. Implikasi
Contoh: Buktikan bahwa “Jika A B = dan A (B C) maka selalu berlaku bahwa A C”.
1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn
Contoh 26. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan A (B C) = (A B) (A C) dengan diagram Venn.
Bukti:
A (B C) (A B) (A C)
Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.
Terbukti bahwa A (B C) = (A B) (A C).
• Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.
• Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.
2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan
Contoh 27. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A (B C) = (A B) (A C).
Bukti:
A B C B C A (B C) A B A C (A B) (A C)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Karena kolom A (B C) dan kolom (A B) (A C) sama, maka A (B C) = (A B) (A C).
3. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.
Contoh 28. Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa (A B) (A ) = A
Bukti:
(A B) (A ) = A (B ) (Hukum distributif)
= A U (Hukum komplemen)
= A (Hukum identitas)
Contoh 29. Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A (B – A) = A B
Bukti:
A (B – A) = A (B ) (Definisi operasi selisih)
= (A B) (A ) (Hukum distributif)
= (A B) U (Hukum komplemen)
= A B (Hukum identitas)
Contoh 30. Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa
(i) A ( B) = A B dan
(ii) A ( B) = A B
Bukti:
(i) A ( B) = ( A ) (A B) (H. distributif)
= U (A B) (H. komplemen)
= A B (H. identitas)
(ii) adalah dual dari (i)
A ( B) = (A ) (A B) (H. distributif)
= (A B) (H. komplemen)
= A B (H. identitas)
4. Pembuktian dengan menggunakan definisi
• Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian ( atau ).
Contoh 31. Misalkan A dan B himpunan. Jika A B = dan A (B C) maka A C. Buktikan!
Bukti:
(i) Dari definisi himpunan bagian, P Q jika dan hanya jika setiap x P juga Q. Misalkan x A. Karena A (B C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga (B C).
Dari definisi operasi gabungan (), x (B C) berarti x B atau x C.
(ii) Karena x A dan A B = , maka x B
Dari (i) dan (ii), x C harus benar. Karena x A juga berlaku x C, maka dapat disimpulkan A C .
Tipe Set dalam Bahasa Pascal
• Bahasa Pascal menyediakan tipe data khusus untuk himpunan, yang bernama set. Tipe set menyatakan himpunan kuasa dari tipe ordinal (integer, character).
Contoh:
type
HurufBesar = ‘A’..‘Z’; { enumerasi }
Huruf = set of HurufBesar;
var
HurufKu : Huruf;
Nilai untuk peubah HurufKu dapat diisi dengan pernyataan berikut:
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’];
HurufKu:=[‘M’];
HurufKu:=[]; { himpunan kosong }
• Operasi yang dapat dilakukan pada tipe himpunan adalah operasi gabungan, irisan, dan selisih seperti pada contoh berikut:
{gabungan}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] + [‘C’, ‘D’, ‘E’];
{irisan}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] * [‘C’, ‘D’, ‘E’];
{selisih}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] - [‘C’, ‘D’, ‘E’];
• Uji keanggotaan sebuah elemen di dalam himpunan dilakukan dengan menggunakan opeator in seperti contoh berikut:
if ‘A’ in HurufKu then ...
• Di dalam kakas pemrograman Delphi, set sering digunakan untuk mengindikasikan flag. Misalnya himpunan icon untuk window:
Langganan:
Postingan (Atom)